Determine o conjunto de todos os valores de
para os quais as séries convergem.
Passo 1
O enunciado pede o conjunto de todos os valores de
para os quais a série
converge. O conteúdo principal aqui é análise de séries de potências, aplicando o teste da raiz para determinar o raio de convergência e depois examinando o comportamento nas extremidades do intervalo.
Passo 2
Aplique o teste da raiz: seja
Então
Pelo teste da raiz, a série converge absolutamente se
isto é, se
Passo 3
Da condição
obtemos o intervalo aberto de convergência absoluta
Passo 4
Verificamos agora o ponto
(extremidade direita). Nesse caso
e o termo geral fica
Logo a série torna-se
que é uma série do tipo
-série com
e portanto diverge.
Passo 5
Verificamos o ponto
(extremidade esquerda). Nesse caso
e o termo geral é
Como
é decrescente e tende a zero, a série alternada
converge condicionalmente pelo critério de Leibniz.
Resposta
A série converge para