Determine o conjunto de todos os valores de x para os quais as séries convergem.
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+1)^{n}}{\sqrt[3]{n+2} \cdot 2^{n}}

Passo 1

O enunciado pede o conjunto de todos os valores de x para os quais a série
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+1)^{n}}{\sqrt[3]{n+2}\,\;2^{n}}
converge. O conteúdo principal aqui é análise de séries de potências, aplicando o teste da raiz para determinar o raio de convergência e depois examinando o comportamento nas extremidades do intervalo.

Passo 2

Aplique o teste da raiz: seja
a_n = \frac{(x+1)^{n}}{\sqrt[3]{n+2}\,2^{n}}.
Então
\sqrt[n]{\lvert a_n\rvert} = \frac{\lvert x+1\rvert}{2}\,\bigl(n+2\bigr)^{-1/(3n)} \;\xrightarrow[n\to\infty]{}\; \frac{\lvert x+1\rvert}{2}\cdot 1 = \frac{\lvert x+1\rvert}{2}.
Pelo teste da raiz, a série converge absolutamente se
\frac{\lvert x+1\rvert}{2}<1,
isto é, se
\lvert x+1\rvert<2.

Passo 3

Da condição \lvert x+1\rvert<2 obtemos o intervalo aberto de convergência absoluta
-2 < x+1 < 2 \quad\Longleftrightarrow\quad -3 < x < 1.

Passo 4

Verificamos agora o ponto x=1 (extremidade direita). Nesse caso x+1=2 e o termo geral fica
\frac{2^{n}}{\sqrt[3]{n+2}\,2^{n}} = \frac{1}{\sqrt[3]{n+2}}.
Logo a série torna-se
\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+2)^{1/3}},
que é uma série do tipo p-série com p=\tfrac13<1 e portanto diverge.

Passo 5

Verificamos o ponto x=-3 (extremidade esquerda). Nesse caso x+1=-2 e o termo geral é
\frac{(-2)^{n}}{\sqrt[3]{n+2}\,2^{n}} = \frac{(-1)^{n}}{(n+2)^{1/3}}.
Como \bigl|(n+2)^{-1/3}\bigr| é decrescente e tende a zero, a série alternada
\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(n+2)^{1/3}}
converge condicionalmente pelo critério de Leibniz.

Resposta

A série converge para
x \in [-3,\,1).

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