Determine o conjunto de todos os valores de x para os quais as séries convergem.
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-3)^{n} \cdot(x+2)^{n}}{n \cdot \ln n}

Passo 1

O enunciado pede para achar o conjunto de x em que a série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-3)^{n}\,(x+2)^{n}}{n\,\ln n}
converge. Isso é basicamente um estudo de convergência de série de potência em torno de -2. Vamos usar o teste da raiz para achar o raio de convergência e depois examinar os extremos do intervalo.

Passo 2

Aplicando o teste da raiz, analisamos
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{(-3)^{n}(x+2)^{n}}{n\ln n}\right|} =\lim_{n\to\infty}\frac{3\,|x+2|}{(n\ln n)^{1/n}} =3\,|x+2|.
Pelo teste da raiz, a série converge se esse limite for menor que 1, ou seja,
3\,|x+2|<1.

Passo 3

Da condição 3\,|x+2|<1 segue
|x+2|<\tfrac{1}{3},
logo a convergência é garantida para
-2-\tfrac{1}{3}<x< -2+\tfrac{1}{3},
isto é,
-\tfrac{7}{3}<x<-\tfrac{5}{3}.

Passo 4

Agora testamos o extremo direito x=-\tfrac{5}{3}. Nesse caso
x+2=\tfrac{1}{3},
e o termo geral vira
\frac{(-3)^{n}\,(1/3)^{n}}{n\ln n} =\frac{(-1)^{n}}{n\ln n}.
Como b_{n}=1/(n\ln n) é decrescente para n\ge2 e tende a zero, pelo critério de Leibniz a série alternada converge. A convergência é condicional porque \sum 1/(n\ln n) diverge.

Passo 5

No extremo esquerdo x=-\tfrac{7}{3} temos
x+2=-\tfrac{1}{3},
e o termo geral fica
\frac{(-3)^{n}\,(-1/3)^{n}}{n\ln n} =\frac{1}{n\ln n},
que é positivo e comparável à integral de 1/(x\ln x), logo diverge. Portanto não inclui esse ponto.

Resposta

A série converge se, e somente se,
|x+2|<\tfrac{1}{3} \quad\text{ou em }x=-\tfrac{5}{3}.
Isto é, o conjunto de convergência é
\bigl(-\tfrac{7}{3},-\tfrac{5}{3}\bigr]\,.

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