Encontre uma transformação linear T: R^2 R^3 tal que (1,-1,2),(3,1,-1) é uma base para Im(T).

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear T:R^2toR^3 de forma que
(1,-1,2),(3,1,-1) seja base de Im(T).
O que precisamos usar é que uma transformação linear fica totalmente determinada pelas imagens de uma base do domínio.

Passo 2

Tomemos a base canônica de R^2, isto é,
e1=(1,0), e2=(0,1)
Basta definir
T(e1) = (1,-1,2), T(e2) = (3,1,-1)
Como esses dois vetores são linearmente independentes em R^3, eles formam uma base de seu span. Logo Im(T)=span(1,-1,2),(3,1,-1).

Passo 3

Pela linearidade de T, para um vetor genérico (x,y)inR^2 temos
T(x,y) = x,T(e1) + y,T(e2) = x,(1,-1,2) + y,(3,1,-1) = (x+3y,,-x+y,;2x - y)

Resposta

Uma escolha conveniente é
T(x,y) = (,x+3y,;-x+y,;2x-y,),
pois aí Im(T)=span(1,-1,2),(3,1,-1) e esses vetores são base da imagem.

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