Questão 3: Calcule as integrais.
, onde
, sendo
a união das curva
e
, onde
é o segmento de reta que vai de
a
e
é o arco do gráfico de
que vai de
. Considere
orientada no sentido horário.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
em que
e
é a curva fechada formada por
(segmento de reta de
a
) e
(arco de
de
a
), orientada no sentido horário. O conteúdo principal é integral de linha e o Teorema de Green.
Passo 2
A curva
é o contorno do domínio
limitado pelo eixo
(de
a
) e pela parábola
. Como a orientação é horário, a versão de Green vem com sinal negativo:
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Logo o integrando é
.
Passo 4
A área de
é
Passo 5
Substituindo em Green: