Questão 3: Calcule as integrais.
\int_{C} F . d r, onde F(x, y)=\left(y+\cos \left(x^{2}\right), 3 x-e^{y^{3}}\right), sendo C a união das curva C_{1} e C_{2}, onde C_{1} é o segmento de reta que vai de (0,1) a (0,-1) e C_{2} é o arco do gráfico de x=y^{2}-1 que vai de (0,-1) (0,1). Considere C orientada no sentido horário.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r},
em que \mathbf{F}(x,y) = \bigl(y+\cos(x^2),\,3x - e^{y^3}\bigr) e C é a curva fechada formada por C_1 (segmento de reta de (0,1) a (0,-1)) e C_2 (arco de x = y^2 - 1 de (0,-1) a (0,1)), orientada no sentido horário. O conteúdo principal é integral de linha e o Teorema de Green.

Passo 2

A curva C é o contorno do domínio D limitado pelo eixo y (de y=-1 a y=1) e pela parábola x=y^2-1. Como a orientação é horário, a versão de Green vem com sinal negativo:
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = -\iint_{D}\Bigl(\tfrac{\partial Q}{\partial x}-\tfrac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
\tfrac{\partial Q}{\partial x} = \tfrac{\partial}{\partial x}(3x - e^{y^3}) = 3, \quad \tfrac{\partial P}{\partial y} = \tfrac{\partial}{\partial y}(y + \cos(x^2)) = 1.
Logo o integrando é 3 - 1 = 2.

Passo 4

A área de D é
\text{Área}(D) = \int_{y=-1}^{1}\int_{x=y^2-1}^{0}dx\,dy = \int_{-1}^{1}\bigl(0 - (y^2-1)\bigr)\,dy = \int_{-1}^{1}(1 - y^2)\,dy = \Bigl[y - \tfrac{y^3}{3}\Bigr]_{-1}^{1} = \tfrac{4}{3}.Á

Passo 5

Substituindo em Green:
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = -\iint_{D}2\,dA = -2 \times \tfrac{4}{3} = -\tfrac{8}{3}.

Resposta

-\tfrac{8}{3}

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