Questão 3: Calcule as integrais.
\iint_{S} f(x, y, z) d S, onde f(x, y, z)=1+\frac{2 z}{\sqrt{3}} e S é a parte da superficie x^{2}+y^{2}+z^{2}=3 que está acima do plano x y.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de superfície
\iint_{S}f(x,y,z)\,dS
onde f(x,y,z)=1+\frac{2z}{\sqrt3} e S é a parte da esfera x^2+y^2+z^2=3 acima do plano xy-plano ( z\ge0). Vamos usar coordenadas esféricas para parametrizar S e usar a expressão do elemento de área para esfera.

Passo 2

Em coordenadas esféricas tomamos
x=\sqrt3\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\sqrt3\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\sqrt3\cos\varphi,
com \varphi\in[0,\pi/2] (acima do xy-plano) e \theta\in[0,2\pi]. O elemento de área na esfera de raio \sqrt3 é
dS = (\sqrt3)^2\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta = 3\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.

Passo 3

Em termos de \varphi, temos
f = 1 + \frac{2z}{\sqrt3} = 1 + \frac{2}{\sqrt3}\cdot(\sqrt3\cos\varphi) = 1 + 2\cos\varphi.

Passo 4

A integral torna-se
\iint_{S}f\,dS = \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\pi/2} \bigl(1+2\cos\varphi\bigr)\,3\sin\varphi \,d\varphi\,d\theta.
Primeiro calcule
I = \int_{0}^{\pi/2}(1+2\cos\varphi)\sin\varphi\,d\varphi = \int_{0}^{\pi/2}\sin\varphi\,d\varphi +2\int_{0}^{\pi/2}\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi.
Sabendo que
\int_{0}^{\pi/2}\sin\varphi\,d\varphi = 1, \quad \int_{0}^{\pi/2}\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi = \tfrac12,
segue I=1+2\cdot\tfrac12=2.

Passo 5

Agora
\iint_{S}f\,dS = 3\int_{0}^{2\pi}d\theta\;\times I = 3\cdot2\pi\cdot2 =12\pi.

Resposta

12\pi

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