Determine o conjunto de valores de
de maneira que a equação
possua uma única solução.
Passo 1
O enunciado dá a equação
com
e pede: para quais valores de
essa equação possui exatamente uma solução real
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A incógnita é
. - A constante
é um número real que queremos determinar. - A função
é sempre positiva para todo (ou seja, valores possíveis são ).
A partir daqui vamos transformar a equação para estudarmos o número de soluções em termos de.
Passo 2
Substituição útil: defina
. Explique por que isso é válido: para todo
temos
, e para todo
existe um
. Logo há correspondência biunívoca entre soluções em
e soluções positivas em
.
Aplicando a substituição na equação:
Aplicando a substituição na equação:
Multiplicando ambos os lados por
(válido porque
):
Portanto, o número de soluções reais
equivale ao número de raízes positivas
da quadrática
.
Passo 3
Trate primeiro o caso
separadamente (porque aí a equação quadrática degenera). Se
, a equação original vira
Isto equivale a
, ou seja
, que é positivo e único. Portanto, para
existe exatamente uma solução em
(logo exatamente uma solução em
). Concluímos que
pertence ao conjunto procurado.
Passo 4
Agora considere
. Para a quadrática
calcule o discriminante:
- Se
(isto é, ), não há raízes reais em e, portanto, nenhuma solução em . Esses não servem. - Se
(isto é, ), há uma raiz real dupla em . - Se
(isto é, ), há duas raízes reais distintas em .
Passo 5
Use as relações de Viète para analisar o sinal das raízes (isso nos diz quantas são positivas):
Para a quadrática as raízes
satisfazem
Para a quadrática
Observe o sinal de
:
- Se
então . Assim as duas raízes reais (quando existirem) têm o mesmo sinal. Além disso , então as duas raízes são positivas. Portanto, para (onde ) há duas raízes positivas distintas — isso corresponde a duas soluções em , logo esses não servem. Para (caso ) a raiz dupla é positiva (mostrarei o valor no próximo passo), gerando exatamente uma solução em , então esse serve. - Se
então . Logo as duas raízes reais (note que aqui sempre, pois ) têm sinais opostos: uma positiva e outra negativa. Como queremos apenas raízes positivas , isso significa que há exatamente uma raiz positiva. Portanto todo dá exatamente uma solução em .
Passo 6
Calcule explicitamente a raiz dupla no caso
para verificar que é positiva. Para
temos a raiz (pela fórmula ou pelo fato de
):
que é positivo. Logo existe exatamente uma raiz positiva (dupla) e, consequentemente, exatamente uma solução em
.
Passo 7
Reúna os casos e conclua:
- Para
: exatamente uma raiz positiva → exatamente uma solução em . - Para
: vimos que há exatamente uma solução em . - Para
: existem duas raízes positivas → duas soluções em (não queremos). - Para
: raiz dupla positiva → exatamente uma solução em . - Para
: nenhuma raiz real → nenhuma solução em .
Portanto os valores de
que dão exatamente uma solução real para
são todos
, mais
, e também
.