Determine o conjunto de valores de \mathrm{k} \in \mathbb{R} de maneira que a equação \mathrm{k} \cdot 2^{\mathrm{x}}+2^{-\mathrm{x}}=5 possua uma única solução.

Passo 1

O enunciado dá a equação \mathrm{k}\cdot 2^{\mathrm{x}} + 2^{-\mathrm{x}} = 5 com \mathrm{k}\in\mathbb{R} e pede: para quais valores de \mathrm{k} essa equação possui exatamente uma solução real \mathrm{x}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A incógnita é \mathrm{x}\in\mathbb{R}.
  • A constante \mathrm{k} é um número real que queremos determinar.
  • A função 2^{\mathrm{x}} é sempre positiva para todo \mathrm{x}\in\mathbb{R} (ou seja, valores possíveis são >0).
    A partir daqui vamos transformar a equação para estudarmos o número de soluções em termos de \mathrm{k}.

Passo 2

Substituição útil: defina t = 2^{\mathrm{x}}. Explique por que isso é válido: para todo \mathrm{x}\in\mathbb{R} temos t>0, e para todo t>0 existe um \mathrm{x} = \log_{2} t. Logo há correspondência biunívoca entre soluções em \mathrm{x} e soluções positivas em t.
Aplicando a substituição na equação:
\mathrm{k}\,t + \frac{1}{t} = 5.
Multiplicando ambos os lados por t (válido porque t>0):
\mathrm{k}\,t^{2} - 5t + 1 = 0.
Portanto, o número de soluções reais \mathrm{x} equivale ao número de raízes positivas t>0 da quadrática \mathrm{k}\,t^{2} - 5t + 1 = 0.

Passo 3

Trate primeiro o caso \mathrm{k}=0 separadamente (porque aí a equação quadrática degenera). Se \mathrm{k}=0, a equação original vira
2^{-\mathrm{x}} = 5.
Isto equivale a t^{-1} = 5, ou seja t = \tfrac{1}{5}, que é positivo e único. Portanto, para \mathrm{k}=0 existe exatamente uma solução em t (logo exatamente uma solução em \mathrm{x}). Concluímos que \mathrm{k}=0 pertence ao conjunto procurado.

Passo 4

Agora considere \mathrm{k}\neq 0. Para a quadrática \mathrm{k}\,t^{2} - 5t + 1 = 0 calcule o discriminante:
\Delta = (-5)^{2} - 4\cdot \mathrm{k}\cdot 1 = 25 - 4\mathrm{k}.
  • Se \Delta < 0 (isto é, \mathrm{k} > \tfrac{25}{4}), não há raízes reais em t e, portanto, nenhuma solução em \mathrm{x}. Esses \mathrm{k} não servem.
  • Se \Delta = 0 (isto é, \mathrm{k} = \tfrac{25}{4}), há uma raiz real dupla em t.
  • Se \Delta > 0 (isto é, \mathrm{k} < \tfrac{25}{4}), há duas raízes reais distintas em t.

Passo 5

Use as relações de Viète para analisar o sinal das raízes (isso nos diz quantas são positivas):
Para a quadrática \mathrm{k}\,t^{2} - 5t + 1 = 0 as raízes t_{1},t_{2} satisfazem
t_{1}+t_{2} = \frac{5}{\mathrm{k}},\qquad t_{1}t_{2} = \frac{1}{\mathrm{k}}.
Observe o sinal de \frac{1}{\mathrm{k}}:
  • Se \mathrm{k}>0 então t_{1}t_{2} = \frac{1}{\mathrm{k}} > 0. Assim as duas raízes reais (quando existirem) têm o mesmo sinal. Além disso t_{1}+t_{2} = \frac{5}{\mathrm{k}} > 0, então as duas raízes são positivas. Portanto, para 0<\mathrm{k}<\tfrac{25}{4} (onde \Delta>0) há duas raízes positivas distintas — isso corresponde a duas soluções em \mathrm{x}, logo esses \mathrm{k} não servem. Para \mathrm{k} = \tfrac{25}{4} (caso \Delta=0) a raiz dupla é positiva (mostrarei o valor no próximo passo), gerando exatamente uma solução em \mathrm{x}, então esse \mathrm{k} serve.
  • Se \mathrm{k}<0 então t_{1}t_{2} = \frac{1}{\mathrm{k}} < 0. Logo as duas raízes reais (note que aqui \Delta>0 sempre, pois 25-4\mathrm{k}>25) têm sinais opostos: uma positiva e outra negativa. Como queremos apenas raízes positivas t>0, isso significa que há exatamente uma raiz positiva. Portanto todo \mathrm{k}<0 dá exatamente uma solução em \mathrm{x}.

Passo 6

Calcule explicitamente a raiz dupla no caso \mathrm{k} = \tfrac{25}{4} para verificar que é positiva. Para \mathrm{k} = \tfrac{25}{4} temos a raiz (pela fórmula ou pelo fato de \Delta=0):
t = \frac{5}{2\mathrm{k}} = \frac{5}{2\cdot \tfrac{25}{4}} = \frac{5}{\tfrac{25}{2}} = \frac{5\cdot 2}{25} = \frac{10}{25} = \frac{2}{5},
que é positivo. Logo existe exatamente uma raiz positiva (dupla) e, consequentemente, exatamente uma solução em \mathrm{x}.

Passo 7

Reúna os casos e conclua:
  • Para \mathrm{k}<0: exatamente uma raiz positiva t → exatamente uma solução em \mathrm{x}.
  • Para \mathrm{k}=0: vimos que há exatamente uma solução em \mathrm{x}.
  • Para 0<\mathrm{k}<\tfrac{25}{4}: existem duas raízes positivas → duas soluções em \mathrm{x} (não queremos).
  • Para \mathrm{k}=\tfrac{25}{4}: raiz dupla positiva → exatamente uma solução em \mathrm{x}.
  • Para \mathrm{k}>\tfrac{25}{4}: nenhuma raiz real → nenhuma solução em \mathrm{x}.
Portanto os valores de \mathrm{k} que dão exatamente uma solução real para \mathrm{x} são todos \mathrm{k}<0, mais \mathrm{k}=0, e também \mathrm{k}=\tfrac{25}{4}.

Resposta

\displaystyle (-\infty,0]\cup\left\{\frac{25}{4}\right\}

Exercícios relacionados