Em um cone de revolução, o raio da base mede 6. Pelo ponto M de uma das geratrizes traça-se a sua mediatriz, que intersecta a geratriz diametralmente oposta e a prolongação do diâmetro nos pontos E e Q, respectivamente. Se \mathrm{MQ}=\frac{20}{3}, calcule a área da superfície lateral do cone.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
Raio da base do cone: 6.
Existe uma geratriz do cone (um segmento da base ao vértice). O ponto M é o ponto médio dessa geratriz (isso fica implícito porque em seguida se traça “a sua mediatriz” — a mediatriz de um segmento passa pelo seu ponto médio).
A mediatriz (perpendicular ao segmento da geratriz e que passa por M) intersecta a geratriz diametralmente oposta no ponto E e a prolongação do diâmetro da base no ponto Q.
Está dado que \mathrm{MQ}=\dfrac{20}{3}.
Pedido: calcular a área da superfície lateral do cone.
Passo 2
Estratégia geométrica usada (sem cálculos ainda): cortar o cone por um plano que contém o eixo do cone e o diâmetro da base que passa pelas geratrizes opostas. Essa seção é um triângulo isósceles cuja base é o diâmetro da base do cone e cujos lados iguais são as geratrizes (o comprimento de cada geratriz é a geratriz do cone, que chamarei de l). Trabalhar nesse triângulo reduz o problema para geometria plana.
Passo 3
Desenho e coordenadas no triângulo de seção axial:
Tome a base do triângulo como o eixo x, com os extremos da base em A(-6,0) e B(6,0) (porque o diâmetro vale 12).
O vértice (ápice do cone) é C(0,h), onde h é a altura do cone que ainda não conhecemos.
A geratriz tem comprimento \displaystyle l=\sqrt{6^2+h^2}=\sqrt{36+h^2}.
A geratriz que contém M é o segmento AC. Como M é o ponto médio de AC, suas coordenadas são a média de A e C:
M\bigl(-3,\tfrac{h}{2}\bigr).
Passo 4
Equação da mediatriz de AC (linha perpendicular a AC que passa por M):
O vetor de A para C é \overrightarrow{AC}=(6,h), então a inclinação (coeficiente angular) de AC é \dfrac{h}{6}.
A reta perpendicular a AC tem inclinação -\dfrac{6}{h}.
Assim, a equação da mediatriz (reta perpendicular a AC passando por M(-3,\tfrac{h}{2})) é
y-\tfrac{h}{2}=-\dfrac{6}{h}(x+3).
Passo 5
Encontrar o ponto Q — interseção dessa mediatriz com a prolongação do diâmetro (eixo x, ou seja, reta y=0):