Em um cone de revolução, o raio da base mede 6. Pelo ponto M de uma das geratrizes traça-se a sua mediatriz, que intersecta a geratriz diametralmente oposta e a prolongação do diâmetro nos pontos E e Q, respectivamente. Se \mathrm{MQ}=\frac{20}{3}, calcule a área da superfície lateral do cone.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
  • Raio da base do cone: 6.
  • Existe uma geratriz do cone (um segmento da base ao vértice). O ponto M é o ponto médio dessa geratriz (isso fica implícito porque em seguida se traça “a sua mediatriz” — a mediatriz de um segmento passa pelo seu ponto médio).
  • A mediatriz (perpendicular ao segmento da geratriz e que passa por M) intersecta a geratriz diametralmente oposta no ponto E e a prolongação do diâmetro da base no ponto Q.
  • Está dado que \mathrm{MQ}=\dfrac{20}{3}.
  • Pedido: calcular a área da superfície lateral do cone.

Passo 2

Estratégia geométrica usada (sem cálculos ainda): cortar o cone por um plano que contém o eixo do cone e o diâmetro da base que passa pelas geratrizes opostas. Essa seção é um triângulo isósceles cuja base é o diâmetro da base do cone e cujos lados iguais são as geratrizes (o comprimento de cada geratriz é a geratriz do cone, que chamarei de l). Trabalhar nesse triângulo reduz o problema para geometria plana.

Passo 3

Desenho e coordenadas no triângulo de seção axial:
  • Tome a base do triângulo como o eixo x, com os extremos da base em A(-6,0) e B(6,0) (porque o diâmetro vale 12).
  • O vértice (ápice do cone) é C(0,h), onde h é a altura do cone que ainda não conhecemos.
  • A geratriz tem comprimento \displaystyle l=\sqrt{6^2+h^2}=\sqrt{36+h^2}.
  • A geratriz que contém M é o segmento AC. Como M é o ponto médio de AC, suas coordenadas são a média de A e C:
M\bigl(-3,\tfrac{h}{2}\bigr).

Passo 4

Equação da mediatriz de AC (linha perpendicular a AC que passa por M):
  • O vetor de A para C é \overrightarrow{AC}=(6,h), então a inclinação (coeficiente angular) de AC é \dfrac{h}{6}.
  • A reta perpendicular a AC tem inclinação -\dfrac{6}{h}.
  • Assim, a equação da mediatriz (reta perpendicular a AC passando por M(-3,\tfrac{h}{2})) é
y-\tfrac{h}{2}=-\dfrac{6}{h}(x+3).

Passo 5

Encontrar o ponto Q — interseção dessa mediatriz com a prolongação do diâmetro (eixo x, ou seja, reta y=0):
  • Pondo y=0 na equação da reta:
0-\tfrac{h}{2}=-\dfrac{6}{h}(x_Q+3).
  • Multiplicando por h:
-\tfrac{h^2}{2}=-6(x_Q+3).
  • Logo
x_Q+3=\dfrac{h^2}{12}\quad\Rightarrow\quad x_Q=\dfrac{h^2}{12}-3.
Portanto Q tem coordenadas
Q\Bigl(\dfrac{h^2}{12}-3,\;0\Bigr).

Passo 6

Expressar \mathrm{MQ} em função de h e igualar a \dfrac{20}{3}:
  • Coordenadas de M: \bigl(-3,\tfrac{h}{2}\bigr).
  • Coordenadas de Q: \bigl(\tfrac{h^2}{12}-3,\,0\bigr).
  • Diferença em x: x_Q-x_M=\dfrac{h^2}{12}.
  • Diferença em y: 0-\tfrac{h}{2}=-\dfrac{h}{2}.
  • Portanto o quadrado da distância:
\mathrm{MQ}^2=\Bigl(\dfrac{h^2}{12}\Bigr)^2+\Bigl(\dfrac{h}{2}\Bigr)^2 =\dfrac{h^4}{144}+\dfrac{h^2}{4}.
  • Colocando em evidência h^2:
\mathrm{MQ}^2=\dfrac{h^2(h^2+36)}{144}.
  • Como \mathrm{MQ}=\dfrac{20}{3}, temos
\Bigl(\dfrac{20}{3}\Bigr)^2=\dfrac{h^2(h^2+36)}{144}.
  • Calculando o lado esquerdo e multiplicando por 144:
\dfrac{400}{9}=\dfrac{h^2(h^2+36)}{144}\quad\Rightarrow\quad h^2(h^2+36)=144\cdot\dfrac{400}{9}=6400.

Passo 7

Resolver a equação para h^2. Seja x=h^2. Então
x(x+36)=6400 \quad\Rightarrow\quad x^2+36x-6400=0.
Resolvendo a quadrática:
  • Discriminante \Delta=36^2+4\cdot6400=1296+25600=26896.
  • \sqrt{\Delta}=164 (pois 26896=164^2).
  • Assim
x=\dfrac{-36+164}{2}=\dfrac{128}{2}=64
(raiz positiva; a outra raiz é negativa e descartada porque x=h^2\ge0).
  • Logo h^2=64 e h=8.

Passo 8

Achar a geratriz l e a área lateral:
  • Geratriz (comprimento de uma geratriz) é
l=\sqrt{6^2+h^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10.
  • Fórmula da área da superfície lateral de um cone circular reto: área lateral =\pi\cdot(\text{raio da base})\cdot(\text{geratriz}).
  • Substituindo r=6 e l=10:
\text{Área lateral}= \pi\cdot6\cdot10=60\pi.Á

Resposta

60\pi

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