Determine o conjunto dos valores de x para os quais cada função abaixo é decrescente:
i(x)=\operatorname{arcsen} x.

Passo 1

O enunciado dá a função i(x)=\operatorname{arcsen} x com domínio [-1,1] e pede para encontrar onde ela é decrescente. Para isso, vamos usar que uma função é decrescente quando sua derivada é negativa.

Passo 2

Calculamos a derivada de i(x)=\operatorname{arcsen} x. Pela regra conhecida,
i'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{arcsen} x\bigr) =\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.

Passo 3

Analisamos o sinal de i'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}. O denominador \sqrt{1-x^2} é estritamente positivo para todo x em (-1,1). Logo,
i'(x)>0\quad\text{para todo }x\in(-1,1).

Passo 4

Como i'(x) nunca fica negativo em seu domínio interno, a função nunca é decrescente. Ela é estritamente crescente em (-1,1) e não está definida no sentido de derivada em \pm1.

Resposta

O conjunto de valores de x em que i(x)=\operatorname{arcsen} x é decrescente é o conjunto vazio, ou seja, \varnothing.

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