Determine o conjunto-verdade de cada proposição abaixo (a variável livre é o número real d>0 ):
\forall x, x<1+d \Rightarrow 2 x<2+1

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (a variável livre é o número real d>0).
  • A proposição dada é: \forall x,\; x<1+d \Rightarrow 2x<2+1.
  • Reescrevendo a parte direita: 2+1=3. Então a fórmula é \forall x,\; x<1+d \Rightarrow 2x<3.
  • O que se pede: determinar o conjunto-verdade dessa proposição em termos de d (ou seja, para quais valores de d>0 a fórmula é verdadeira).

Passo 2

Entender a semântica lógica (em linguagem simples) do que temos que checar.
  • Uma implicação P\Rightarrow Q é falsa exatamente quando P é verdadeira e Q é falsa simultaneamente; em todos os outros casos a implicação é verdadeira.
  • Uma afirmação \forall x,\; P(x)\Rightarrow Q(x) é verdadeira exatamente quando não existe nenhum x tal que P(x) seja verdadeiro e Q(x) seja falso ao mesmo tempo. Em outras palavras, não pode haver contraexemplo x com P(x) e \neg Q(x).

Passo 3

Aplicar isso ao nosso caso, identificando P(x) e Q(x).
  • Aqui P(x) é “ x<1+d”.
  • Aqui Q(x) é “ 2x<3”.
  • A proposição é verdadeira para um dado d se e somente se não existir x\in\mathbb{R} tal que x<1+d \quad\text{e}\quad 2x\ge 3.

Passo 4

Resolver a condição de possível contraexemplo 2x\ge 3 em termos de x.
  • A desigualdade 2x\ge 3 é equivalente a x\ge \frac{3}{2}.
  • Portanto um contraexemplo seria um x que satisfaça simultaneamente \frac{3}{2}\le x < 1+d.
  • Ou seja, existe um contraexemplo exatamente quando o intervalo \left[\dfrac{3}{2},\,1+d\right) não é vazio.

Passo 5

Determinar quando esse intervalo é vazio.
  • O intervalo \left[\dfrac{3}{2},\,1+d\right) é vazio quando o seu extremidade esquerda é maior ou igual à extremidade direita: \frac{3}{2}\ge 1+d.
  • Resolver essa desigualdade para d: \frac{3}{2}\ge 1+d \quad\Longleftrightarrow\quad d \le \frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}.

Passo 6

Levar em conta a condição inicial d>0 e concluir o conjunto-verdade.
  • Juntando d>0 com d\le \tfrac{1}{2} obtemos 0<d\le \frac{1}{2}.
  • Portanto, para qualquer d nesse intervalo a proposição é verdadeira; se d>\tfrac{1}{2} existe um contraexemplo (por exemplo x=\tfrac{3}{2}) e a proposição é falsa.

Passo 7

Checagem rápida com exemplos (para ganhar confiança).
  • Se d=\tfrac{1}{3} então 1+d=\tfrac{4}{3}<\tfrac{3}{2}, logo todo x<1+d satisfaz x<\tfrac{3}{2} e portanto 2x<3: proposição verdadeira.
  • Se d=1 então 1+d=2>\tfrac{3}{2}. Tomando x=\tfrac{3}{2} temos x<1+d e 2x=3\not<3, logo a implicação falha: proposição falsa.

Resposta

\{\,d>0 \mid d\le \tfrac{1}{2}\,\} = \left(0,\tfrac{1}{2}\right]

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