Determine o conjunto-verdade de cada proposição abaixo (a variável livre é o número real
):
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (a variável livre é o número real
).
- A proposição dada é:
. - Reescrevendo a parte direita:
. Então a fórmula é . - O que se pede: determinar o conjunto-verdade dessa proposição em termos de
(ou seja, para quais valores de a fórmula é verdadeira).
Passo 2
Entender a semântica lógica (em linguagem simples) do que temos que checar.
- Uma implicação
é falsa exatamente quando é verdadeira e é falsa simultaneamente; em todos os outros casos a implicação é verdadeira. - Uma afirmação
é verdadeira exatamente quando não existe nenhum tal que seja verdadeiro e seja falso ao mesmo tempo. Em outras palavras, não pode haver contraexemplo com e .
Passo 3
Aplicar isso ao nosso caso, identificando
e
.
- Aqui
é “ ”. - Aqui
é “ ”. - A proposição é verdadeira para um dado
se e somente se não existir tal que
Passo 4
Resolver a condição de possível contraexemplo
em termos de
.
- A desigualdade
é equivalente a - Portanto um contraexemplo seria um
que satisfaça simultaneamente - Ou seja, existe um contraexemplo exatamente quando o intervalo
não é vazio.
Passo 5
Determinar quando esse intervalo é vazio.
- O intervalo
é vazio quando o seu extremidade esquerda é maior ou igual à extremidade direita: - Resolver essa desigualdade para
:
Passo 6
Levar em conta a condição inicial
e concluir o conjunto-verdade.
- Juntando
com obtemos - Portanto, para qualquer
nesse intervalo a proposição é verdadeira; se existe um contraexemplo (por exemplo ) e a proposição é falsa.
Passo 7
Checagem rápida com exemplos (para ganhar confiança).
- Se
então , logo todo satisfaz e portanto : proposição verdadeira. - Se
então . Tomando temos e , logo a implicação falha: proposição falsa.