Determine o conjunto-verdade de cada proposição abaixo (a variável livre é o número real d>0 ):
\forall x, x<1+d \Rightarrow 2 x<2+\frac{1}{3}

Passo 1

O enunciado fornece a proposição (a variável livre é d>0):
\forall x,\; x<1+d \Rightarrow 2x<2+\tfrac{1}{3}.
O que se pede: determinar o conjunto-verdade, ou seja, todos os valores de d>0 para os quais essa fórmula universal é verdadeira.
Informações dadas:
  • d é um número real com d>0.
  • A quantificação é universal sobre x (interpreta-se x\in\mathbb{R} se não foi dito outro domínio).
  • A implicação é: antecedente x<1+d, consequente 2x<2+\tfrac{1}{3}.

Passo 2

Lembrete sobre implicação e quantificador universal (pequena aula):
  • Uma implicação P\Rightarrow Q é falsa somente quando P é verdadeira e Q é falsa; caso contrário é verdadeira.
  • A afirmativa \forall x,\;P(x)\Rightarrow Q(x) é verdadeira se, para todo x, não ocorre o caso onde P(x) é verdadeiro e Q(x) é falso. Equivalentemente,
\forall x,\;P(x)\Rightarrow Q(x)\\ \text{é verdadeira} \iff \lnot\exists x\bigl(P(x)\land\lnot Q(x)\bigr).é
Aplicando ao nosso caso: a proposição falha exatamente quando existe x tal que
x<1+d\quad\text{e}\quad 2x\ge 2+\tfrac{1}{3}.
Logo devemos estudar a existência de x que satisfaça simultaneamente essas duas condições.

Passo 3

Simplificar a desigualdade do consequente:
2+\tfrac{1}{3}=\tfrac{7}{3}.
Então a condição de falsidade torna-se:
x<1+d\quad\text{e}\quad 2x\ge\tfrac{7}{3}.
A segunda desigualdade equivale a
2x\ge\tfrac{7}{3}\iff x\ge\tfrac{7}{6}.
Portanto procuramos x com
\tfrac{7}{6}\le x<1+d.

Passo 4

Quando existe tal x? O intervalo [\tfrac{7}{6},\,1+d) é não vazio se, e somente se, a extremidade esquerda for menor que a direita:
\tfrac{7}{6}<1+d.
Se \tfrac{7}{6}=1+d então o intervalo é [\tfrac{7}{6},\tfrac{7}{6}), vazio (nenhum x satisfaz), e se \tfrac{7}{6}>1+d também é vazio.
Resolver \tfrac{7}{6}<1+d:
\tfrac{7}{6}<1+d \iff d>\tfrac{1}{6}.
Conseqüências lógicas:
  • Se d>\tfrac{1}{6} então existe x (por exemplo x=\tfrac{7}{6} ou qualquer x com \tfrac{7}{6}\le x<1+d) que torna a implicação falsa; logo a fórmula universal é falsa.
  • Se d\le\tfrac{1}{6} então não existe tal x, então para todo x com x<1+d necessariamente 2x<\tfrac{7}{3}, e a fórmula universal é verdadeira.
Lembrando que d deve satisfazer d>0, então combinamos com essa restrição.

Passo 5

Exemplos para ganhar intuição:
  • Tome d=\tfrac{1}{12} (que é <\tfrac{1}{6}). Então 1+d=1+\tfrac{1}{12}=\tfrac{13}{12}. Para qualquer x<\tfrac{13}{12} tem-se 2x<\tfrac{26}{12}=\tfrac{13}{6} e \tfrac{13}{6}<\tfrac{7}{3}=\tfrac{14}{6}, logo 2x<\tfrac{7}{3}. A proposição é verdadeira.
  • Tome d=\tfrac{1}{4} (que é >\tfrac{1}{6}). Então 1+d=1{,}25. Note que \tfrac{7}{6}\approx1{,}1666<1{,}25, portanto existe x com \tfrac{7}{6}\le x<1+d (por exemplo x=\tfrac{7}{6}). Para esse x temos x<1+d e 2x=\tfrac{7}{3}\ge\tfrac{7}{3}, então a implicação falha. A proposição é falsa.

Resposta

(0,\tfrac{1}{6}]

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