Determine o conjunto-verdade de cada proposição abaixo (a variável livre é o número real
):
Passo 1
O enunciado fornece a proposição (a variável livre é
):
O que se pede: determinar o conjunto-verdade, ou seja, todos os valores de
para os quais essa fórmula universal é verdadeira.
Informações dadas:
-
é um número real com . - A quantificação é universal sobre
(interpreta-se se não foi dito outro domínio). - A implicação é: antecedente
, consequente .
Passo 2
Lembrete sobre implicação e quantificador universal (pequena aula):
- Uma implicação
é falsa somente quando é verdadeira e é falsa; caso contrário é verdadeira. - A afirmativa
é verdadeira se, para todo , não ocorre o caso onde é verdadeiro e é falso. Equivalentemente,
Aplicando ao nosso caso: a proposição falha exatamente quando existe
tal que
Logo devemos estudar a existência de
que satisfaça simultaneamente essas duas condições.
Passo 3
Simplificar a desigualdade do consequente:
Então a condição de falsidade torna-se:
A segunda desigualdade equivale a
Portanto procuramos
com
Passo 4
Quando existe tal
? O intervalo
é não vazio se, e somente se, a extremidade esquerda for menor que a direita:
Se
então o intervalo é
, vazio (nenhum
satisfaz), e se
também é vazio.
Resolver
:
Conseqüências lógicas:
- Se
então existe (por exemplo ou qualquer com ) que torna a implicação falsa; logo a fórmula universal é falsa. - Se
então não existe tal , então para todo com necessariamente , e a fórmula universal é verdadeira.
Lembrando que
deve satisfazer
, então combinamos com essa restrição.
Passo 5
Exemplos para ganhar intuição:
- Tome
(que é ). Então . Para qualquer tem-se e , logo . A proposição é verdadeira. - Tome
(que é ). Então . Note que , portanto existe com (por exemplo ). Para esse temos e , então a implicação falha. A proposição é falsa.