Reescreva cada afirmação a seguir em linguagem natural, sem usar notação simbólica, e determine seu valor verdade:
\forall a \in \mathbb{R}, \forall c \in \mathbb{R}, \exists b \in \mathbb{R} \mid a b=c

Passo 1

O enunciado fornece a fórmula lógica
\forall a \in \mathbb{R},\\ \forall c \in \mathbb{R},\\ \exists b \in \mathbb{R}\mid a b = c
e pede duas coisas:
  • Reescrever essa afirmação em linguagem natural, sem usar notação simbólica.
  • Determinar o valor verdade da afirmação (verdadeira ou falsa).
As informações dadas explícitas no enunciado são:
  • Há um quantificador universal sobre a que varia em \mathbb{R}.
  • Há um quantificador universal sobre c que varia em \mathbb{R}.
  • Há um quantificador existencial sobre b que varia em \mathbb{R}.
  • A condição exigida é que a multiplicado por b seja igual a c.

Passo 2

Vou explicar o que significam os quantificadores para ficar claro o que a afirmação exige.
  • O símbolo \forall (para todo) significa que a proposição que vem depois deve ser verdadeira para todos os valores possíveis da variável indicada.
  • O símbolo \exists (existe) significa que basta encontrar pelo menos um valor da variável indicada que torne a proposição verdadeira.
  • A ordem importa: aqui primeiro se diz "para todo a" e "para todo c", e só depois se afirma "existe b". Isso quer dizer que, para cada par (a,c) de números reais, deve existir (possivelmente dependendo desse par) pelo menos um número real b que satisfaça a equação.

Passo 3

Reescrevendo a afirmação em linguagem natural (sem símbolos):
“Para quaisquer números reais a e c, existe um número real b tal que o produto de a por b é igual a c.”
Essa é a tradução direta e simples do enunciado simbólico.

Passo 4

Agora vamos analisar se isso é verdadeiro ou falso. Primeiro considere o caso em que a é diferente de zero.
  • Se a\neq 0, então a equação a b = c pode ser resolvida isolando b: basta definir b=\dfrac{c}{a}.
  • A divisão por a é válida porque a\neq 0. Assim, para qualquer c dado e qualquer a\neq 0, existe de fato um b real (especificamente b=\dfrac{c}{a}) que satisfaz a b = c.

Passo 5

Agora examine o caso em que a=0.
  • Se a=0, a equação a b = c fica 0\cdot b = c, isto é, 0 = c.
  • Essa igualdade só é verdadeira quando c=0. Portanto, se a=0 e c=0, qualquer b serve (existem muitos b que satisfazem). Mas se a=0 e c\neq 0, não existe nenhum b que faça 0\cdot b = c, porque 0\cdot b é sempre 0.

Passo 6

Como a afirmação original exige que, para todos os a e todos os c, exista um b que resolva a b = c, basta encontrar um par (a,c) para o qual não exista tal b para concluir que a afirmação é falsa.
Um contraexemplo simples é:
  • Tome a=0 e c=1. Então a equação 0\cdot b = 1 é impossível para qualquer b\in\mathbb{R}. Logo, para esse par (a,c) não existe b que satisfaça a condição.
Portanto a afirmação universal é falsa.

Resposta

Para quaisquer números reais a e c, existe um número real b tal que a multiplicado por b é igual a c.
Falso.

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