Reescreva cada afirmação a seguir em linguagem natural, sem usar notação simbólica, e determine seu valor verdade:
Passo 1
O enunciado fornece a fórmula lógica
e pede duas coisas:
- Reescrever essa afirmação em linguagem natural, sem usar notação simbólica.
- Determinar o valor verdade da afirmação (verdadeira ou falsa).
As informações dadas explícitas no enunciado são:
- Há um quantificador universal sobre
que varia em . - Há um quantificador universal sobre
que varia em . - Há um quantificador existencial sobre
que varia em . - A condição exigida é que
multiplicado por seja igual a .
Passo 2
Vou explicar o que significam os quantificadores para ficar claro o que a afirmação exige.
- O símbolo
(para todo) significa que a proposição que vem depois deve ser verdadeira para todos os valores possíveis da variável indicada. - O símbolo
(existe) significa que basta encontrar pelo menos um valor da variável indicada que torne a proposição verdadeira. - A ordem importa: aqui primeiro se diz "para todo
" e "para todo ", e só depois se afirma "existe ". Isso quer dizer que, para cada par de números reais, deve existir (possivelmente dependendo desse par) pelo menos um número real que satisfaça a equação.
Passo 3
Reescrevendo a afirmação em linguagem natural (sem símbolos):
“Para quaisquer números reais e
, existe um número real
tal que o produto de
por
é igual a
.”
“Para quaisquer números reais
Essa é a tradução direta e simples do enunciado simbólico.
Passo 4
Agora vamos analisar se isso é verdadeiro ou falso. Primeiro considere o caso em que
é diferente de zero.
- Se
, então a equação pode ser resolvida isolando : basta definir . - A divisão por
é válida porque . Assim, para qualquer dado e qualquer , existe de fato um real (especificamente ) que satisfaz .
Passo 5
Agora examine o caso em que
.
- Se
, a equação fica , isto é, . - Essa igualdade só é verdadeira quando
. Portanto, se e , qualquer serve (existem muitos que satisfazem). Mas se e , não existe nenhum que faça , porque é sempre .
Passo 6
Como a afirmação original exige que, para todos os
e todos os
, exista um
que resolva
, basta encontrar um par
para o qual não exista tal
para concluir que a afirmação é falsa.
Um contraexemplo simples é:
- Tome
e . Então a equação é impossível para qualquer . Logo, para esse par não existe que satisfaça a condição.
Portanto a afirmação universal é falsa.
Resposta
Para quaisquer números reais
e
, existe um número real
tal que
multiplicado por
é igual a
.
Falso.
Falso.