Determine se são verdadeiras ou falsas:
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
- Informação dada: a fórmula lógica
- Interpretação do enunciado: “Existe algum número real
positivo tal que, para todo número real , se então .” - O que é pedido: determinar se essa afirmação é verdadeira ou falsa (ou seja, se existe ao menos um
que torne a implicação verdadeira para todo ).
Passo 2
Entendendo os quantificadores e a implicação. Explicação didática:
-
quer dizer "existe pelo menos um com ". -
quer dizer "para todo " (presumimos ). - A implicação
significa: sempre que a hipótese for verdadeira, então a conclusão deve ser verdadeira. Se a hipótese for falsa para algum , a implicação é verdadeira para esse (isso é uma propriedade padrão de implicação lógica). - Na prática, para que a afirmativa com
seja verdadeira, a desigualdade precisa segurar para todos os que satisfaçam .
Passo 3
Transformar a conclusão para relacioná-la com a hipótese. Técnica básica: a multiplicação por
é uma função estritamente crescente, então de
segue
Assim, sempre que
tivermos
. Para garantir que
para todos esses
, basta que o número máximo possível de
(quando
se aproxima de
por baixo) seja ainda menor que
.
Passo 4
Usar a desigualdade obtida para encontrar uma condição sobre
. Se para todo
vale
, então uma condição suficiente para que sempre tenha
é
Explicação: se
então, a partir de
segue
. Observação: não precisamos de estrita desigualdade no lado direito porque
é estrito, então
estrito e portanto também
mesmo quando
.
Passo 5
Resolver a desigualdade para
. Desenvolvendo
Portanto, qualquer
satisfazendo
torna a implicação verdadeira para todo
.
Passo 6
Verificar que essa condição é também necessária (checar o caso contrário). Se
, então
. Nesse caso é possível escolher
com
mas suficientemente próximo de
tal que
, o que quebra a implicação. Exemplo concreto: suponha
com
. Tome
Temos
e
logo a implicação falha. Isso confirma que somente
podem funcionar.
Passo 7
Conclusão lógica e dica prática para prova. Já vimos que existem muitos
que funcionam (por exemplo
ou
). Então a afirmação existencial é verdadeira. Em provas, procedimento padrão para esse tipo de enunciado:
- transformar a implicação usando monotonicidade (aqui multiplicar por
), - achar a condição sobre o ponto de acumulação
, - exibir um
que satisfaça essa condição (ou mostrar que não existe).
Aqui basta mostrar quefunciona, por exemplo.
Resposta
Verdadeira