Determine se o conjunto de vetores abaixo é linearmente dependente ou linearmente independente. Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir se um conjunto de vetores é linearmente dependente ou linearmente independente. Aqui, os “vetores” são na verdade matrizes . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear e espaços vetoriais. Precisaremos entender como combinar esses vetores (matrizes) para ver se conseguimos obter o vetor nulo de mais de uma maneira.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa um conjunto ser linearmente dependente ou independente:
Linearmente independente: Os vetores não podem ser combinados com coeficientes diferentes de zero para resultar no vetor nulo.
Linearmente dependente: Existe pelo menos uma combinação não trivial (com coeficientes diferentes de zero) dos vetores que resulta no vetor nulo.
No nosso caso, queremos ver se existe uma combinação das três matrizes dadas que nos dá a matriz nula , sem que todas as constantes multiplicadoras sejam zero.
Passo 3
Vamos chamar as três matrizes de , e :
Queremos encontrar constantes k1, k2 e k3 tais que:
k1 A + k2 B + k3 C = 0 & 0 0 & 0
Passo 4
Vamos escrever essa equação de matrizes de forma mais detalhada, olhando para cada posição da matriz:
Então, se k3 = 0, de k1 = -k3, temos k1 = 0. E de k2 = -k1, k2 = 0.
Passo 6
Encontramos que a única solução possível é k1 = k2 = k3 = 0, ou seja, a combinação trivial. Isso significa que não existe uma combinação não trivial que satisfaça a equação k1 A + k2 B + k3 C = 0.
Resposta
O conjunto de vetores (matrizes) é linearmente independente porque a única combinação que resulta na matriz nula é a combinação trivial, onde todos os coeficientes são zero.