Seja
dada por
.
é injetora?
é sobrejetora? Justifique.
Passo 1
Se liga, temos a transformação linear
Para ver se
é injetora, vamos estudar seu núcleo (
). Para saber se é sobrejetora, vamos estudar sua imagem (ou posto).
Passo 2
Calcular o núcleo exige resolver
ou seja o sistema
Da segunda equação vem
. Substituindo na primeira:
Logo
e
tem dimensão 1.
Como , concluímos que
não é injetora (injeção linear só rola quando o núcleo é trivial).
Como
Passo 3
Para o posto, avaliaremos a imagem em vetores-canônicos.
Estes dois vetores em
formam a matriz
cujos vetores-coluna são linearmente independentes (determinante
2cdot2-1cdot1=3neq0 ). Logo
Como
dim(Im,T)=2=dim(R^2) , segue que
Im,T=R^2 . Portanto
T é sobrejetora.