Seja T: R^3 R^2 dada por T(x, y, z)=(2 x+y-z, x+2 y).
T é injetora? T é sobrejetora? Justifique.

Passo 1

Se liga, temos a transformação linear
Tcolon R^3 to R^2, T(x,y,z) = (2x + y - z,;x + 2y)
Para ver se T é injetora, vamos estudar seu núcleo ( ker T). Para saber se é sobrejetora, vamos estudar sua imagem (ou posto).

Passo 2

Calcular o núcleo exige resolver
T(x,y,z) = (0,0),
ou seja o sistema
2x + y - z = 0, x + 2y = 0
Da segunda equação vem x = -2y. Substituindo na primeira:
2(-2y) + y - z = 0 ;Longrightarrow;-4y + y - z = 0 ;Longrightarrow;z = -3y
Logo
(x,y,z) = l(-2y,;y,;-3yr) = y,(-2,1,-3),
e
ker T = ,y(-2,1,-3)mid yinR
tem dimensão 1.
Como ker Tneq(0,0,0), concluímos que T não é injetora (injeção linear só rola quando o núcleo é trivial).

Passo 3

Para o posto, avaliaremos a imagem em vetores-canônicos.
T(1,0,0) = (2,1), T(0,1,0) = (1,2)
Estes dois vetores em R^2 formam a matriz
2 & 1 1 & 2
cujos vetores-coluna são linearmente independentes (determinante 2cdot2-1cdot1=3neq0). Logo
diml(Im,Tr) = 2
Como dim(Im,T)=2=dim(R^2), segue que Im,T=R^2. Portanto T é sobrejetora.

Resposta

T não é injetora e é sobrejetora.

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