Sejam os vetores u, v, w e os números reais k1, k2. Provar as seguintes propriedades:
u+v=v+u

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para provar que a soma de dois vetores, u + v, é igual à soma na ordem inversa, v + u. Isso está ligado à matéria de Álgebra Vetorial, especificamente às propriedades das operações com vetores. Para resolver, vamos usar a definição de soma de vetores e mostrar que a ordem não altera o resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como somamos dois vetores. Se temos dois vetores u e v, cada um com componentes u = (u1, u2) e v = (v1, v2), a soma u + v é feita somando componente por componente:
u + v = (u1 + v1, u2 + v2)

Passo 3

Agora, vamos calcular a soma na ordem inversa, ou seja, v + u:
v + u = (v1 + u1, v2 + u2)

Passo 4

Observamos que u1 + v1 é igual a v1 + u1, e u2 + v2 é igual a v2 + u2, porque a adição de números reais é comutativa. Portanto:
(u1 + v1, u2 + v2) = (v1 + u1, v2 + u2)

Passo 5

Assim, concluímos que:
u + v = v + u

Resposta

A soma de u e v é igual à soma de v e u, ou seja, u + v = v + u.

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