Seja T: R^3 R^3 operador linear dado por
T(x, y, z)=(x+y-2 z, x+2 y+z, 2 x+2 y-3 z)
Mostre que T é um isomorfismo e encontre T^-1(x, y, z).

Passo 1

O enunciado define o operador linear
Tcolon R^3 to R^3, T(x,y,z) = (,x + y - 2z,; x + 2y + z,; 2x + 2y - 3z,)
O objetivo é mostrar que T é um isomorfismo (isto é, bijetora) e encontrar explicitamente T^-1(x,y,z).

Passo 2

Em primeiro lugar, escrevemos T na base canônica pela matriz
A = 1 & 1 & -2 1 & 2 & 1 2 & 2 & -3 ,
isto é, T(v)=A,v. Para verificar que T é invertível, calculamos
det(A) =12&12&-3 -11&12&-3 -21&22&2
Os determinantes menores são
2&12&-3=2cdot(-3)-1cdot2=-6-2=-8, 1&12&-3=1cdot(-3)-1cdot2=-3-2=-5,
1&22&2=1cdot2-2cdot2=2-4=-2
Logo
det(A)=1cdot(-8)-1cdot(-5)-2cdot(-2)=-8+5+4=1neq0

Passo 3

Como det(A)=1neq0, a matriz A é invertível e, portanto, T é bijetora e logo um isomorfismo linear.

Passo 4

Para encontrar
em função de ((x,y,z)]. Fazendo eliminação obtemos

Assim,

Resposta

T é um isomorfismo e
T^-1(x,y,z) =l(-8x - y + 5z,;5x + y - 3z,;-2x + zr)

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