Seja W o subespaço de R^3 gerado pelos vetores (-2,-6,0),(1,1,-2). Determine o subespaço gerado W (Apresente todos os cálculos principalmente a combinação e a construção do sistema de equações lineares. Omissões implicarão em desconto da pontuação da questão. 1,0 pto).

Passo 1

O enunciado dá o subespaço WsubsetR^3 gerado pelos vetores
v1 = (-2,-6,0), v2 = (1,1,-2)
O que queremos é descrever W de forma explícita, por exemplo encontrando uma equação cartesiana do plano gerado por v1 e v2. Para isso, vamos usar combinações lineares e resolver um sistema para eliminar os parâmetros.

Passo 2

Primeiro, notamos que v2 não é múltiplo de v1, pois não existe escalar lambda tal que
(1,1,-2) = lambda,(-2,-6,0)
Logo v1 e v2 são independentes e dim W=2. Assim W é um plano que passa pela origem.

Passo 3

Em seguida, escrevemos um vetor genérico (x,y,z)in W como combinação linear
(x,y,z) = a,v1 + b,v2 = a,(-2,-6,0) + b,(1,1,-2)
Desse modo obtemos o sistema
x = -2a + b, y = -6a + b, z = -2b

Passo 4

Do sistema isolamos primeiro b em função de z:
z = -2b Longrightarrow b = -z2
Substituímos esse valor nas duas primeiras equações.

Passo 5

Com b = -tfracz2 temos
x = -2a - z2 Longrightarrow a = -x2 - z4
Agora exprimimos y em termos de x e z:
y = -6a + b = -6l(-tfracx2-tfracz4r) - z2 = 3x + 6z4 - z2 = 3x + z
Logo os pontos (x,y,z) em W satisfazem
y - 3x - z = 0

Resposta

O subespaço W é o plano passando pela origem dado por
W = (x,y,z)inR^3 mid y - 3x - z = 0

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