Seja o subespaço de gerado pelos vetores . Determine o subespaço gerado (Apresente todos os cálculos principalmente a combinação e a construção do sistema de equações lineares. Omissões implicarão em desconto da pontuação da questão. 1,0 pto).
Passo 1
O enunciado dá o subespaço gerado pelos vetores
O que queremos é descrever de forma explícita, por exemplo encontrando uma equação cartesiana do plano gerado por e . Para isso, vamos usar combinações lineares e resolver um sistema para eliminar os parâmetros.
Passo 2
Primeiro, notamos que não é múltiplo de , pois não existe escalar tal que
Logo e são independentes e . Assim é um plano que passa pela origem.
Passo 3
Em seguida, escrevemos um vetor genérico como combinação linear
Desse modo obtemos o sistema
Passo 4
Do sistema isolamos primeiro b em função de z:
z = -2b Longrightarrow b = -z2
Substituímos esse valor nas duas primeiras equações.
Passo 5
Com b = -tfracz2 temos
x = -2a - z2 Longrightarrow a = -x2 - z4
Agora exprimimos y em termos de x e z:
y = -6a + b = -6l(-tfracx2-tfracz4r) - z2 = 3x + 6z4 - z2 = 3x + z
Logo os pontos (x,y,z) em W satisfazem
y - 3x - z = 0
Resposta
O subespaço W é o plano passando pela origem dado por