Verifique se os conjuntos de vetores (0,0,1),(0,1,1),(2,1,1) geram R^3 (Apresente todos os cálculos, principalmente a combinação e a construção do sistema de equações lineares. Omissões implicarão em desconto da pontuação da questão. 1,0 pto).

Passo 1

O enunciado pede para verificarmos se os vetores
(0,0,1), (0,1,1), (2,1,1) \n
geram R^3 . Em outras palavras, queremos saber se todo vetor arbitrário (x,y,z) in R^3 pode ser escrito como combinação linear desses três vetores. Para isso, vamos montar a combinação linear genérica e traduzir nas equações para depois resolver o sistema.

Passo 2

Escrevemos a combinação linear pedida:
(x,y,z) ;=; a,(0,0,1);+; b,(0,1,1);+; c,(2,1,1),
onde a,b,c são escalares a determinar em função de x,y,z.

Passo 3

Igualando componente a componente, obtemos três equações:
0cdot a + 0cdot b + 2;c = x,
0cdot a + 1;b + 1;c = y,
1;a + 1;b + 1;c = z

Passo 4

Da primeira equação
2c = x
vem imediatamente
c = x2

Passo 5

Substituindo c na segunda equação
b + c = y
temos
b = y - c = y - x2

Passo 6

Agora, na terceira equação
a + b + c = z,
substituímos b e c:
a + l(y - tfracx2r) + tfracx2 = z Longrightarrow a = z - y

Passo 7

Chegamos às soluções
c = x2, b = y - x2, a = z - y,
que existem para quaisquer x,y,zinR. Isso mostra que todo vetor (x,y,z) de R^3 pode ser gerado por esses três vetores.

Resposta

Sim, os vetores (0,0,1),,(0,1,1),,(2,1,1) geram R^3.

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