1. Determine se o conjunto de vetores a seguir forma um espaço vetorial. Se sim, prove as propriedades da adição de vetores e da multiplicação por escalar. Caso contrário, explique qual propriedade não é satisfeita. Conjunto: \{(1,2),(3,4)\}.

Passo 1

O enunciado dá explicitamente o conjunto com dois vetores em \mathbb{R}^2:
S=\{\,(1,2),\,(3,4)\,\}.
A pergunta é: o conjunto S forma um espaço vetorial? Se sim, provar as propriedades da adição e da multiplicação por escalar; se não, explicar qual(s) propriedade(s) não é(são) satisfeita(s).

Passo 2

O que significa ser um espaço vetorial (resumo didático e objetivo).
  • Um conjunto V com operações de adição de vetores e multiplicação por escalar (por escalares reais, no caso de \mathbb{R}^2) é espaço vetorial se todas as propriedades seguintes valem:
    1. (Fechamento adição) Para todo u,v\in V vale u+v\in V.
    2. (Comutatividade) Para todo u,v\in V vale u+v=v+u.
    3. (Associatividade) Para todo u,v,w\in V vale (u+v)+w=u+(v+w).
    4. (Existência do elemento neutro aditivo) Existe 0_V\in V tal que u+0_V=u para todo u\in V.
    5. (Existência de inverso aditivo) Para todo u\in V existe -u\in V tal que u+(-u)=0_V.
    6. (Fechamento por escalar) Para todo escalar \alpha\in\mathbb{R} e todo u\in V vale \alpha u\in V.
    7. (Distributividade escalar sobre vetores) (\alpha+\beta)u=\alpha u+\beta u.
    8. (Distributividade vetorial sobre escalares) \alpha(u+v)=\alpha u+\alpha v.
    9. (Associatividade da multiplicação escalar) \alpha(\beta u)=(\alpha\beta)u.
    10. (Identidade multiplicativa) 1\cdot u = u.
  • Observação prática: para mostrar que um conjunto NÃO é espaço vetorial basta encontrar ao menos uma propriedade que falhe (um contraexemplo). Não é preciso verificar todas se já se encontra uma violação.

Passo 3

Testando fechamento sob adição (passo natural e simples).
  • Pegue u=(1,2)\in S e v=(1,2)\in S (pode somar um vetor com ele mesmo).
  • Calcule a soma:
u+v=(1,2)+(1,2)=(1+1,\,2+2)=(2,4).
  • Verifique se (2,4) pertence a S. Os únicos elementos de S são (1,2) e (3,4). Logo (2,4)\notin S.
  • Conclusão deste passo: existe ao menos um par u,v\in S cuja soma não fica em S. Portanto a propriedade de fechamento sob adição (item 1 da lista) falha.

Passo 4

Testando existência do vetor zero e fechamento por escalar (mais contraexemplos rápidos que ajudam a entender).
  • Para ser espaço vetorial, S deve conter o vetor zero (0,0), pois o vetor zero é o elemento neutro aditivo exigido pela definição.
  • Veja que (0,0)\notin S porque S tem apenas (1,2) e (3,4).
  • Também pelo fechamento por escalar: tome o escalar \alpha=0 e u=(1,2)\in S. Então
0\cdot u = 0\cdot(1,2) = (0,0).
  • Como (0,0)\notin S, a propriedade de fechamento por escalar (item 6) também falha.
  • Ainda, multiplicação por -1 daria o inverso aditivo: -1\cdot(1,2)=(-1,-2)\notin S, logo não existe inverso aditivo dentro de S para (1,2). Assim a propriedade 5 (existência de inverso aditivo em S) também falha.

Passo 5

Interpretação e raciocínio geral (por que conjuntos finitos não-nulos falham).
  • Intuição útil para prova rápida: um subespaço de \mathbb{R}^2 (ou qualquer espaço vetorial) que contém um vetor não nulo v deve também conter todos os escalares \alpha v (fechamento por escalares). Como \alpha varia em \mathbb{R}, isto gera infinitos vetores distintos (geralmente uma reta através da origem). Portanto um conjunto finito com um vetor não nulo (como S) não pode ser um subespaço, salvo o caso trivial \{(0,0)\}.
  • Aplicando ao nosso S: ele é finito, contém vetores não-nulos, e não contém (0,0); assim não pode ser espaço vetorial.

Passo 6

Conclusão final objetiva (baseada nos contraexemplos).
  • Já encontramos explicitamente que (1,2)+(1,2)=(2,4)\notin S, que 0\cdot(1,2)=(0,0)\notin S e que -1\cdot(1,2)=(-1,-2)\notin S. Essas falhas mostram que pelo menos as propriedades de fechamento sob adição, existência do elemento neutro aditivo e fechamento por escalar não valem em S. Portanto S não é um espaço vetorial.

Resposta

Não; o conjunto S=\{\,(1,2),\,(3,4)\,\} não é um espaço vetorial, pois não é fechado sob adição (por exemplo (1,2)+(1,2)=(2,4)\notin S) e não contém o vetor zero (0,0) (por exemplo 0\cdot(1,2)=(0,0)\notin S).

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