- Determine se o conjunto de vetores a seguir forma um espaço vetorial. Se sim, prove as propriedades da adição de vetores e da multiplicação por escalar. Caso contrário, explique qual propriedade não é satisfeita. Conjunto:
.
Passo 1
O enunciado dá explicitamente o conjunto com dois vetores em
:
A pergunta é: o conjunto
forma um espaço vetorial? Se sim, provar as propriedades da adição e da multiplicação por escalar; se não, explicar qual(s) propriedade(s) não é(são) satisfeita(s).
Passo 2
O que significa ser um espaço vetorial (resumo didático e objetivo).
- Um conjunto
com operações de adição de vetores e multiplicação por escalar (por escalares reais, no caso de ) é espaço vetorial se todas as propriedades seguintes valem: - (Fechamento adição) Para todo
vale . - (Comutatividade) Para todo
vale . - (Associatividade) Para todo
vale . - (Existência do elemento neutro aditivo) Existe
tal que para todo . - (Existência de inverso aditivo) Para todo
existe tal que . - (Fechamento por escalar) Para todo escalar
e todo vale . - (Distributividade escalar sobre vetores)
. - (Distributividade vetorial sobre escalares)
. - (Associatividade da multiplicação escalar)
. - (Identidade multiplicativa)
.
- (Fechamento adição) Para todo
- Observação prática: para mostrar que um conjunto NÃO é espaço vetorial basta encontrar ao menos uma propriedade que falhe (um contraexemplo). Não é preciso verificar todas se já se encontra uma violação.
Passo 3
Testando fechamento sob adição (passo natural e simples).
- Pegue
e (pode somar um vetor com ele mesmo). - Calcule a soma:
- Verifique se
pertence a . Os únicos elementos de são e . Logo . - Conclusão deste passo: existe ao menos um par
cuja soma não fica em . Portanto a propriedade de fechamento sob adição (item 1 da lista) falha.
Passo 4
Testando existência do vetor zero e fechamento por escalar (mais contraexemplos rápidos que ajudam a entender).
- Para ser espaço vetorial,
deve conter o vetor zero , pois o vetor zero é o elemento neutro aditivo exigido pela definição. - Veja que
porque tem apenas e . - Também pelo fechamento por escalar: tome o escalar
e . Então
- Como
, a propriedade de fechamento por escalar (item 6) também falha. - Ainda, multiplicação por
daria o inverso aditivo: , logo não existe inverso aditivo dentro de para . Assim a propriedade 5 (existência de inverso aditivo em ) também falha.
Passo 5
Interpretação e raciocínio geral (por que conjuntos finitos não-nulos falham).
- Intuição útil para prova rápida: um subespaço de
(ou qualquer espaço vetorial) que contém um vetor não nulo deve também conter todos os escalares (fechamento por escalares). Como varia em , isto gera infinitos vetores distintos (geralmente uma reta através da origem). Portanto um conjunto finito com um vetor não nulo (como ) não pode ser um subespaço, salvo o caso trivial . - Aplicando ao nosso
: ele é finito, contém vetores não-nulos, e não contém ; assim não pode ser espaço vetorial.
Passo 6
Conclusão final objetiva (baseada nos contraexemplos).
- Já encontramos explicitamente que
, que e que . Essas falhas mostram que pelo menos as propriedades de fechamento sob adição, existência do elemento neutro aditivo e fechamento por escalar não valem em . Portanto não é um espaço vetorial.
Resposta
Não; o conjunto
não é um espaço vetorial, pois não é fechado sob adição (por exemplo
) e não contém o vetor zero
(por exemplo
).