Seja a transformação linear T: P^2 P^2. dada por:
T(a x^2+b x+c)=2 a x+b
c) Calcule os autovetores de T.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear T: P^2 to P^2 por
T(a x^2 + b x + c) = 2a x + b
Queremos encontrar todos os autovetores de T, ou seja, os polinômios não nulos p(x)=a x^2 + b x + c e escalares lambda tais que
T(p) = lambda,p

Passo 2

Seja p(x)=a x^2 + b x + c. A condição T(p)=lambda p fica
2a x + b = lambdal(a x^2 + b x + cr) = lambda a,x^2 + lambda b,x + lambda c
Igualando coeficientes nos dois lados, obtemos o sistema
0 = lambda,a, 2a = lambda,b, b = lambda,c

Passo 3

Considere lambda neq 0. Da primeira equação temos a=0.
Então a segunda dá 2cdot0 = lambda,bimplies b=0.
E a terceira dá 0 = lambda,cimplies c=0.
Isso leva apenas ao polinômio zero, que não é autovetor. Concluímos que não há autovetores para lambdaneq0.

Passo 4

Considere lambda = 0. A primeira equação 0=0cdot a é trivial.
A segunda 2a=0cdot b força a=0.
A terceira b=0cdot c força b=0.
Fica p(x)=c com cneq0, um polinômio constante, e de fato
T(p)=T(c)=0 = 0cdot p
Portanto, todo polinômio constante é autovetor associado a lambda=0.

Resposta

Os únicos autovetores não nulos de T são os polinômios constantes
p(x)=c, cneq0,
associados ao autovalor lambda=0.

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