Determine se os conjuntos abaixo são linearmente independentes.
\left[\begin{array}{r}2 \\\\ -3\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-4 \\\\ 6\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores em \mathbb{R}^2:
\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix}2 \\\\ -3\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix}-4 \\\\ 6\end{pmatrix}
e pede para determinar se o conjunto \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\} é linearmente independente.
Conteúdo: definição de independência linear e critério prático em \mathbb{R}^2: dois vetores são dependentes se e somente se um for múltiplo escalar do outro.

Passo 2

Procuramos um escalar \alpha tal que
\alpha\,\mathbf{v}_1 \;=\;\mathbf{v}_2.
Escrevendo em componentes:
\alpha\begin{pmatrix}2 \\\\ -3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4 \\\\ 6\end{pmatrix}.
Da primeira componente vem
2\alpha = -4 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = -2.

Passo 3

Verificamos a segunda componente com \alpha=-2:
-3\cdot(-2)=6,
que coincide com a segunda componente de \mathbf{v}_2. Logo
\mathbf{v}_2 = -2\,\mathbf{v}_1
é uma combinação não trivial de \mathbf{v}_1, o que implica dependência linear.

Resposta

O conjunto \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\} é linearmente dependente.

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