Determine, por simples inspeção, se os vetores abaixo são linearmente independentes.
\left[\begin{array}{r}-8 \\\\ 12 \\\\ -4\end{array}\right], \left[\begin{array}{r}2 \\\\ -3 \\\\ -1\end{array}\right]

Passo 1

Temos dois vetores em \mathbb{R}^3:
v = \begin{pmatrix} -8 \\\\ 12 \\\\ -4 \end{pmatrix}, \quad w = \begin{pmatrix} 2 \\\\ -3 \\\\ -1 \end{pmatrix}.
Para verificar se são linearmente independentes, basta checar se existe \lambda\in\mathbb{R} tal que v = \lambda w.

Passo 2

Igualando componente a componente, obtemos
-8 = 2\lambda,\quad 12 = -3\lambda,\quad -4 = -1\lambda.
Da primeira igualdade vem \lambda = -4. Com esse valor, a segunda igualdade fica -3\cdot(-4)=12, que funciona, mas a terceira fica -1\cdot(-4)=4\neq -4. Logo não existe \lambda que satisfaça todas simultaneamente, ou seja, não são múltiplos um do outro.

Resposta

Os vetores são linearmente independentes.

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