Determine se os conjuntos abaixo são subespaços de . Em caso afirmativo exiba uma base: e .
Passo 1
O enunciado define o conjunto
contido em , e pede para determinar se é um subespaço vetorial de . Para isso vamos usar a definição de subespaço: verificar que o vetor nulo está em e que é fechado sob soma e multiplicação escalar; em caso afirmativo, exibiremos uma base de .
Passo 2
Verificamos se o elemento neutro (matriz nula) de pertence a . A matriz nula é
e seu elemento (1,1) vale 0. Logo 02times2in V.
Passo 3
Mostramos que V é fechado sob soma. Sejam
X=0 & b1 c1 & d1, Y=0 & b2 c2 & d2
em V. Então
X+Y =0 & b1+b2 c1+c2 & d1+d2,
e o elemento (1,1) continua zero. Logo X+Yin V.
Passo 4
Mostramos que V é fechado sob multiplicação por escalar. Se alphainR e
X=0 & b c & din V,
então
alpha X =alphacdot0 & alpha b alpha c & alpha d =0 & alpha b alpha c & alpha d,
cujo elemento (1,1) também é zero. Portanto alpha Xin V.
Passo 5
Concluímos que V é subespaço de M(2,2). Para achar uma base, note que um elemento genérico de V é
0 & b c & d = b0 & 1 0 & 0 + c0 & 0 1 & 0 + d0 & 0 0 & 1
As três matrizes
E12=0 & 1 0 & 0, E21=0 & 0 1 & 0, E22=0 & 0 0 & 1
são linearmente independentes e geram V, logo formam uma base.