Determine quais conjuntos abaixo são subespaços vetoriais de P3(R):
Todos os polinômios a0+a1 x+a2 x^2+a3 x^3 com a0=0.
Atenção: P3(R) denota o espaço vetorial dos polinômios reais de graus menor ou igual a 3.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S = ,p(x)=a0+a1x+a2x^2+a3x^3in P3(R) mid a0=0
é um subespaço de P3(R). O conteúdo envolve a definição de subespaço vetorial: é preciso mostrar que (i) o polinômio zero está em S, (ii) S é fechado sob soma de vetores e (iii) S é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o polinômio zero de P3(R) pertence a S. O polinômio zero é
0(x)=0+0cdot x+0cdot x^2+0cdot x^3,
cujo coeficiente a0=0. Logo, 0(x)in S.

Passo 3

Mostramos fechamento sob soma. Sejam
p(x)=0 + a1x+a2x^2+a3x^3 e q(x)=0 + b1x+b2x^2+b3x^3
em S. Então
(p+q)(x) = (0+0) + (a1+b1)x + (a2+b2)x^2 + (a3+b3)x^3,
e o coeficiente constante é 0+0=0. Assim p+qin S.

Passo 4

Mostramos fechamento sob escalar. Seja lambdainR e p(x)=0 + a1x+a2x^2+a3x^3in S. Então
(lambda p)(x) = lambdacdot 0 + (lambda a1)x + (lambda a2)x^2 + (lambda a3)x^3,
e o coeficiente constante é lambdacdot 0=0. Logo lambda pin S.

Resposta

O conjunto dado é, de fato, um subespaço vetorial de P3(R).

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