Determine quais conjuntos abaixo são subespaços vetoriais de
:
Todos os polinômios
.
Atenção:
denota o espaço vetorial dos polinômios reais de graus menor ou igual a 3.
Todos os polinômios
Atenção:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um subespaço de
. O conteúdo envolve a definição de subespaço vetorial: é preciso mostrar que (i) o polinômio zero está em
, (ii)
é fechado sob soma de vetores e (iii)
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos se o polinômio zero de
pertence a
. O polinômio zero é
cujo coeficiente
. Logo,
.
Passo 3
Mostramos fechamento sob soma. Sejam
em
. Então
e o coeficiente constante é
. Assim
.
Passo 4
Mostramos fechamento sob escalar. Seja
e
. Então
e o coeficiente constante é
. Logo
.
Resposta
O conjunto dado é, de fato, um subespaço vetorial de
.