Verificar se são subespaços vetoriais de R^3:
W=(x, y, z) in R^3: x^2+y+z=0

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar se o conjunto \r
W = (x,y,z)in R^3 mid x^2 + y + z = 0 \r
é um subespaço de R^3. Para isso, vamos usar os critérios:\r
\r
  1. O vetor zero deve pertencer a W.\r
  2. W deve ser fechado sob soma de vetores.\r
  3. W deve ser fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero 0=(0,0,0) está em W. Substituindo na equação de definição de W:\r
0^2 + 0 + 0 = 0, \r
logo 0in W.

Passo 3

Testamos a fechadura sob soma. Se \r
u=(x1,y1,z1)in W e \r
v=(x2,y2,z2)in W, então\r
x1^2 + y1 + z1 = 0 e x2^2 + y2 + z2 = 0 \r
O vetor soma é \r
u+v=(x1+x2,,y1+y2,,z1+z2) e substituindo:\r
(x1+x2)^2 + (y1+y2) + (z1+z2) &= x1^2 + x2^2 + 2x1x2 + y1 + y2 + z1 + z2 &= (x1^2 + y1 + z1) + (x2^2 + y2 + z2) + 2x1x2 &= 0 + 0 + 2x1x2 &= 2x1x2, \r
que em geral não é zero. Portanto u+vnotin W e W não é fechado sob soma.

Resposta

O conjunto W não é subespaço vetorial de R^3 porque falha a condição de fechamento sob soma de vetores.

Exercícios relacionados