Determine quais conjuntos abaixo são subespaços vetoriais de P3(R):
Todos os polinômios a0+a1 x+a2 x^2+a3 x^3 em que a0, a1 e a2 são inteiros.
Atenção: P3(R) denota o espaço vetorial dos polinômios reais de graus menor ou igual a 3.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S = l,a0+a1x+a2x^2+a3x^3in P3(R) mid a0,a1,a2inZ,;a3inRr
é um subespaço vetorial de P3(R).
Para isso vamos usar a definição: um subconjunto Ssubset V é subespaço se e somente se
  1. contém o vetor zero;
  2. é fechado sob soma;
  3. é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos se o polinômio zero pertence a S.
O polinômio zero é
0 + 0x + 0x^2 + 0x^3,
onde 0inZ para a0,a1,a2 e 0inR para a3.
Logo 0in S.

Passo 3

Testamos a soma de dois polinômios em S.
Se p(x)=a0+a1x+a2x^2+a3x^3 e
q(x)=b0+b1x+b2x^2+b3x^3 estão em S, então
p(x)+q(x) = (a0+b0) + (a1+b1)x + (a2+b2)x^2 + (a3+b3)x^3
Como a soma de inteiros é inteiro, ai+biinZ para i=0,1,2, e a3+b3inR.
Logo p+qin S e S é fechado sob soma.

Passo 4

Testamos a multiplicação escalar.
Se p(x)=a0+a1x+a2x^2+a3x^3in S e lambdainR, então
lambda,p(x) = (lambda a0) + (lambda a1)x + (lambda a2)x^2 + (lambda a3)x^3
Para ser em S precisaríamos lambda a0,lambda a1,lambda a2inZ.
Mas, se lambda não for inteiro, por exemplo lambda=tfrac12 e a0=1, temos tfrac12notinZ.
Portanto lambda pnotin S em geral, e S não é fechado sob multiplicação escalar.

Resposta

O conjunto não é subespaço vetorial de P3(R), pois falha no fechamento sob multiplicação escalar.

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