Determine quais conjuntos abaixo são subespaços vetoriais de
:
Todos os polinômios
em que
,
e
são inteiros.
Atenção:
denota o espaço vetorial dos polinômios reais de graus menor ou igual a 3.
Todos os polinômios
Atenção:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
.
Para isso vamos usar a definição: um subconjunto é subespaço se e somente se
Para isso vamos usar a definição: um subconjunto
- contém o vetor zero;
- é fechado sob soma;
- é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Verificamos se o polinômio zero pertence a
.
O polinômio zero é
O polinômio zero é
onde
para
e
para
.
Logo .
Logo
Passo 3
Testamos a soma de dois polinômios em
.
Se e
estão em
, então
Se
Como a soma de inteiros é inteiro,
para
, e
.
Logo e
é fechado sob soma.
Logo
Passo 4
Testamos a multiplicação escalar.
Se e
, então
Se
Para ser em
precisaríamos
.
Mas, se não for inteiro, por exemplo
e
, temos
.
Portanto em geral, e
não é fechado sob multiplicação escalar.
Mas, se
Portanto
Resposta
O conjunto não é subespaço vetorial de
, pois falha no fechamento sob multiplicação escalar.