Dê o domínio e esboce os gráficos das funções dadas. g(x)=\left\{\begin{array}{l}x \text { se } x \leq 2 \\\\ 3 \text { se } x>2\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) dar o domínio da função g\) e (2) esboçar o gráfico de \(g\), onde
\[g(x)=\begin{cases} x & \text{se } x\le 2,\\[4pt] 3 & \text{se } x>2. \end{cases}
Informações dadas que vamos usar:
Há duas regras: uma que vale para todos os x\] menores ou iguais a \(2 e outra que vale para todos os x maiores que 2.
Os valores numéricos relevantes são 2 e 3.]
Passo 2
O que é domínio? O domínio de uma função é o conjunto de todos os x para os quais a função está definida. Aqui temos duas partes:
a primeira parte está definida para todos os x tais que x\le 2;
a segunda parte está definida para todos os x tais que x>2.
Como esses dois conjuntos se juntam e cobrem todos os números reais, concluímos que a função está definida para todo x\in(-\infty,+\infty).
Passo 3
Vou calcular o valor da função exatamente em x=2, porque é o ponto de mudança das regras. A regra aplicável em x=2 é a primeira, pois ela diz "se x\le 2". Logo
g(2)=2.
Isso significa que no gráfico, o ponto (2,2) deve aparecer como ponto preenchido (ponto fechado).
Passo 4
Esboço da primeira parte (x\le 2): a regra é g(x)=x.
Isso é a reta identidade, com inclinação 1 que passa pela origem. Alguns pontos fáceis para desenhar: (-1,-1), (0,0), (1,1), (2,2).
Deve-se desenhar essa reta para todos os x menores ou iguais a 2; em x=2 a marcação é um ponto fechado em (2,2) porque g(2)=2.
Passo 5
Esboço da segunda parte (x>2): a regra é g(x)=3.
Isso é uma linha horizontal na altura y=3.
Deve-se desenhar essa linha para todos os x estritamente maiores que 2. Exemplos de pontos sobre essa linha: (3,3), (4,3), (10,3).
Em x=2 essa parte não vale, então sobre o ponto (2,3) deve haver um círculo aberto (ponto vazio) para indicar que esse valor não pertence ao gráfico.
Passo 6
Comportamento em x=2 e continuidade (importante para o esboço):
Limite pela esquerda: \lim_{x\to 2^-}g(x)=2 (porque pela esquerda vale g(x)=x).
Limite pela direita: \lim_{x\to 2^+}g(x)=3 (porque pela direita vale g(x)=3).
Valor da função: g(2)=2.
Como os limites lateral esquerdo e direito são diferentes (2 e 3), há uma descontinuidade do tipo salto (jump) em x=2. No gráfico isso aparece como a reta y=x chegando ao ponto fechado (2,2) e, imediatamente acima, a reta horizontal y=3 começando para x>2 com um ponto aberto em (2,3).
Passo 7
Instruções práticas para desenhar (faça assim na sua folha — isso funciona rápido na prova):
Desenhe os eixos x e y.
Trace a reta y=x em 45° para a região x\le 2. Marque os pontos (-1,-1), (0,0), (1,1) para guiar e termine com um ponto fechado em (2,2).
Trace a linha horizontal y=3 para a região x>2. Marque alguns pontos como (3,3), (4,3) para guiar e desenhe um círculo aberto em (2,3).
Observe o salto entre (2,2) e a linha y=3; isso mostra a descontinuidade em x=2.
Pronto — esse é o esboço correto.
Resposta
Domínio: (-\infty,+\infty)
Gráfico: reta y=x para x\le 2 (com ponto fechado em (2,2)) e reta horizontal y=3 para x>2 (com ponto aberto em (2,3)).