Dê o domínio e esboce os gráficos das funções dadas.
f(x)=\left\{\begin{array}{lr}2 x & \text { se } x<0 \\\\ -x+1 & \text { se } x \geq 0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Determinar o domínio da função definida por partes
f(x)=\begin{cases} 2x & \text{se } x<0,\\[4pt] -x+1 & \text{se } x\ge 0. \end{cases}
  • Esboçar o gráfico dessa função (mostrar como são os dois ramos e o que acontece em x=0).
Informações dadas (extraídas do enunciado):
  • Para x<0 a função vale 2x.
  • Para x\ge 0 a função vale -x+1.
  • Não há outras restrições (nenhuma raiz quadrada, divisão por x, logaritmo, etc.) no enunciado.]

Passo 2

O que é domínio e como achar aqui (aula rápida):
  • O domínio de uma função é o conjunto de valores de x para os quais a expressão que define a função faz sentido (está definida).
  • Se a fórmula for uma expressão polinomial ou linear (como 2x ou -x+1), ela está definida para todo x\in\mathbb{R}.
  • Aqui a função está definida por duas fórmulas cobrindo exatamente os casos x<0 e x\ge 0. Esses dois conjuntos juntados ( x<0 unido com x\ge 0) formam todos os números reais.
Conclusão do domínio:
\text{o domínio é }(-\infty,\infty)=\mathbb{R}.íé

Passo 3

Entendendo e esboçando o ramo para x<0: f(x)=2x
  • 2x é uma reta passando pela origem com inclinação (coeficiente angular) 2. Isso significa que, subindo 1 em x, y sobe 2.
  • Como esse ramo vale somente para x<0, desenha-se a parte da reta y=2x que fica à esquerda do eixo y (e não inclui o ponto em x=0).
  • Pontos fáceis para plotar (todos tomados no ramo x<0):
    • x=-2 \Rightarrow f(-2)=2(-2)=-4.
    • x=-1 \Rightarrow f(-1)=2(-1)=-2.
    • x=-\tfrac{1}{2} \Rightarrow f(-\tfrac{1}{2})=-1.
  • Em x=0 a fórmula 2x 0, mas como esse ramo é só para x<0, no gráfico em x=0 deve aparecer um círculo aberto em (0,0) para indicar que esse ponto não pertence ao ramo.

Passo 4

Entendendo e esboçando o ramo para x\ge 0: f(x)=-x+1
  • -x+1 é uma reta com coeficiente angular -1 e intercepto em y igual a 1 (quando x=0, y=1).
  • Este ramo vale para x\ge 0, ou seja, inclui o ponto em x=0. Então em (0,1) deve haver um ponto preenchido (ponto fechado).
  • Pontos fáceis para plotar:
    • x=0 \Rightarrow f(0)=1 (ponto fechado (0,1)).
    • x=1 \Rightarrow f(1)=-1+1=0.
    • x=2 \Rightarrow f(2)=-2+1=-1.
    • x=\tfrac{1}{3}\Rightarrow f(\tfrac{1}{3})=-\tfrac{1}{3}+1=\tfrac{2}{3} (só para ver um ponto no interior do ramo).
  • A reta segue para a direita indefinidamente com declive negativo.

Passo 5

Comportamento em x=0 e continuidade (mini-aula)
  • Limite pela esquerda (usando o ramo x<0):
\lim_{x\to 0^-}f(x)=\lim_{x\to 0^-}2x=0.
  • Valor à direita e valor da função em 0 (régua do ramo x\ge0):
f(0)=-0+1=1.
  • Como \lim_{x\to 0^-}f(x)=0 e f(0)=1, existe uma descontinuidade do tipo salto em x=0. No gráfico isso aparece como um círculo aberto em (0,0) (ramo da esquerda) e um ponto fechado em (0,1) (ramo da direita).

Passo 6

Instruções práticas para esboçar (passo a passo que dá pra fazer na prova sem régua complicada)
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Marque e plote os pontos do ramo esquerdo: (-2,-4), (-1,-2), (-0{,}5,-1). Ligue-os por uma reta até aproximar x=0, e faça um círculo aberto em (0,0).
  3. Plote o ponto fechado (0,1) (ramo direito). Em seguida plote (1,0), (2,-1) e conecte esses pontos por uma reta (inclinação -1) estendendo para a direita.
  4. Opcional: marque o ponto (\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3}) para visualizar onde a reta da direita cruzaria a reta da esquerda se esta valesse para x>0 (isso ajuda a ver que as duas retas se cruzam em x=\tfrac{1}{3}, mas esse cruzamento não afeta a definição para x<0).

Passo 7

Descrição final do gráfico (resumo verbal que substitui o desenho):
  • À esquerda do eixo y há a reta y=2x terminando em um círculo aberto em (0,0).
  • No ponto x=0 existe um ponto fechado em (0,1).
  • Para x>0 segue a reta y=-x+1 com declive -1, passando por (1,0) e continuando para a direita.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Gráfico: para x<0 reta y=2x (com círculo aberto em (0,0)); para x\ge 0 reta y=-x+1 (com ponto fechado em (0,1)).

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