Determine os conjuntos domínio, imagem e gráfico das seguintes funções
Passo 1
O enunciado pede três coisas para a função
:
- Determinar o conjunto domínio (todos os
reais para os quais a função está definida). - Determinar a imagem (conjunto de valores
que a função assume). - Determinar o gráfico (conjunto de pares
que satisfazem a relação).
Informação dada: a função é a função racional
Passo 2
Começamos pelo domínio. Uma função racional como
está definida sempre que o denominador for diferente de zero. Então exigimos
Isso implica
Logo todos os reais exceto
pertencem ao domínio.
Passo 3
Agora vamos encontrar a imagem. Estratégia didática: para saber se um certo valor
pertence à imagem, resolvemos a equação
em relação a
. Se para um dado
existir algum
no domínio que satisfaça a equação, então esse
está na imagem.
Passo 4
Fazendo as manipulações algébricas (com cuidado passo a passo):
multiplicando ambos os lados por
(note que isso só é legal quando
, que já excluímos do domínio):
Distribuindo:
Coloco todos os termos com
do mesmo lado:
Fatoro
no lado esquerdo:
Passo 5
A partir de
há dois casos a tratar:
e
.
Caso
: substituindo na equação original,
Multiplicando,
o que dá
, impossível. Portanto não existe
que produza
. Conclusão:
não pertence à imagem.
Passo 6
Caso
: podemos dividir por
e resolver para
:
Isso mostra que, para qualquer
, existe um
(dado por essa fórmula) que resolve a equação. Precisamos apenas verificar que esse
encontrado não seja o ponto proibido
.
Passo 7
Verificação de que não obtivemos
por engano: suponha que a fórmula dê
. Então
Dividindo ambos os lados por
:
Isso implica
, i.e.
, contradição. Portanto a fórmula nunca gera
. Assim, para todo
a
obtida está no domínio, logo todo
é realmente atingido pela função.
Concluímos: a imagem é todos os reais exceto
:
Passo 8
Complemento intuitivo (útil na prova): reescrevendo a função obtemos
Dessa forma vê-se claramente que há uma assíntota horizontal em
(a função tende a
quando
) e uma assíntota vertical em
(denominador zero). Isso reforça a conclusão de que
não é alcançado, e que o domínio exclui
.
Passo 9
O gráfico é simplesmente o conjunto de pares
que satisfazem a fórmula, com a restrição no domínio. Uma descrição adequada do gráfico é
Alguns pontos úteis para esboçar:
,
,
,
. A curva tem assíntotas em
(vertical) e
(horizontal).
Resposta
Domínio:
Imagem:
Gráfico:
Imagem:
Gráfico: