Determine os conjuntos domínio, imagem e gráfico das seguintes funções
y=\frac{x}{x+2}

Passo 1

O enunciado pede três coisas para a função y=\dfrac{x}{x+2}:
  • Determinar o conjunto domínio (todos os x reais para os quais a função está definida).
  • Determinar a imagem (conjunto de valores y que a função assume).
  • Determinar o gráfico (conjunto de pares (x,y) que satisfazem a relação).
Informação dada: a função é a função racional
y=\frac{x}{x+2}.

Passo 2

Começamos pelo domínio. Uma função racional como \dfrac{x}{x+2} está definida sempre que o denominador for diferente de zero. Então exigimos
x+2 \neq 0.
Isso implica
x \neq -2.
Logo todos os reais exceto -2 pertencem ao domínio.

Passo 3

Agora vamos encontrar a imagem. Estratégia didática: para saber se um certo valor y pertence à imagem, resolvemos a equação
y=\frac{x}{x+2}
em relação a x. Se para um dado y existir algum x no domínio que satisfaça a equação, então esse y está na imagem.

Passo 4

Fazendo as manipulações algébricas (com cuidado passo a passo):
y=\frac{x}{x+2}
multiplicando ambos os lados por (x+2) (note que isso só é legal quando x\neq-2, que já excluímos do domínio):
y(x+2)=x.
Distribuindo:
yx+2y = x.
Coloco todos os termos com x do mesmo lado:
yx - x = -2y.
Fatoro x no lado esquerdo:
x(y-1) = -2y.

Passo 5

A partir de x(y-1)=-2y há dois casos a tratar: y=1 e y\neq1.
Caso y=1: substituindo na equação original,
1=\frac{x}{x+2}.
Multiplicando,
x+2 = x,
o que dá 2=0, impossível. Portanto não existe x que produza y=1. Conclusão: y=1 não pertence à imagem.

Passo 6

Caso y\neq1: podemos dividir por (y-1) e resolver para x:
x = \frac{-2y}{y-1}.
Isso mostra que, para qualquer y\neq1, existe um x (dado por essa fórmula) que resolve a equação. Precisamos apenas verificar que esse x encontrado não seja o ponto proibido x=-2.

Passo 7

Verificação de que não obtivemos x=-2 por engano: suponha que a fórmula dê x=-2. Então
\frac{-2y}{y-1} = -2.
Dividindo ambos os lados por -2:
\frac{y}{y-1} = 1.
Isso implica y = y-1, i.e. 0=-1, contradição. Portanto a fórmula nunca gera x=-2. Assim, para todo y\neq1 a x obtida está no domínio, logo todo y\neq1 é realmente atingido pela função.
Concluímos: a imagem é todos os reais exceto 1:
\mathbb{R}\setminus\{1\}.

Passo 8

Complemento intuitivo (útil na prova): reescrevendo a função obtemos
\frac{x}{x+2}=\frac{x+2-2}{x+2}=1-\frac{2}{x+2}.
Dessa forma vê-se claramente que há uma assíntota horizontal em y=1 (a função tende a 1 quando |x|\to\infty) e uma assíntota vertical em x=-2 (denominador zero). Isso reforça a conclusão de que y=1 não é alcançado, e que o domínio exclui x=-2.

Passo 9

O gráfico é simplesmente o conjunto de pares (x,y) que satisfazem a fórmula, com a restrição no domínio. Uma descrição adequada do gráfico é
\{(x,\tfrac{x}{x+2})\mid x\in\mathbb{R}\setminus\{-2\}\}.
Alguns pontos úteis para esboçar: f(0)=0, f(1)=\tfrac{1}{3}, f(-1)=-1, f(2)=\tfrac{1}{2}. A curva tem assíntotas em x=-2 (vertical) e y=1 (horizontal).

Resposta

Domínio: \mathbb{R}\setminus\{-2\}
Imagem: \mathbb{R}\setminus\{1\}
Gráfico: \{(x,\tfrac{x}{x+2})\mid x\in\mathbb{R}\setminus\{-2\}\}

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