Resolva as congruências lineares:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a congruência linear
Informações relevantes fornecidas:
- O coeficiente do lado esquerdo é
. - O módulo é
. - O termo à direita é
. - A solução procurada é o conjunto de inteiros
que satisfazem essa congruência (isto é, a classe de equivalência de módulo ).
Passo 2
Estratégia e teoria necessária (passo-a-passo didático):
- Para resolver uma congruência linear
procede-se assim: - Reduzir
módulo (substituir por seu resto) para simplificar. - Calcular
. Se , não há solução. Se , existem exatamente soluções distintas módulo . - No caso
(ou seja, ), existe um único inverso multiplicativo de módulo . Encontrando esse inverso tal que , multiplica-se ambos os lados por e obtém-se .
- Reduzir
- Para encontrar o inverso de
módulo usa-se o algoritmo de Euclides estendido: ele fornece inteiros tais que . Quando , então é o inverso de módulo .
Passo 3
Aplicando a redução do coeficiente:
- Como
(pegando esse resto de dividido por ), a congruência é equivalente a
Agora calculemos
:
- Usando o algoritmo de Euclides:
, , . Assim . - Como
e , existe exatamente uma solução modulo .
Passo 4
Encontrar o inverso de
módulo
(Euclides estendido, com explicação):
- Reescrevendo as divisões:
- Agora fazemos substituições para escrever
como combinação linear de e : Mas , logo - Portanto existem inteiros
e tais que - Isso mostra que
é o inverso multiplicativo de módulo , pois .
Passo 5
Obter a solução usando o inverso:
- Multiplicando a congruência
pelo inverso , obtemos - Calcule
. Reduzindo módulo : . Assim - Verificação rápida (pra ficar seguro):
. Como , tem-se , logo . Correto!
Passo 6
Interpretação final e forma geral das soluções:
- A solução única na classe dos restos módulo
é . - Em termos de inteiros, todas as soluções são
- Dica para prova: sempre reduza
módulo primeiro; se procure o inverso (Euclides estendido é rápido e seguro).