lim x 0 x^2e^x-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a seguinte limite de cálculo diferencial:
limxto0 x^2e^x-1
Estamos no tópico de limite de funções e vamos precisar usar a ferramenta da regra de l’Hôpital, pois ao substituir diretamente obtemos uma forma indeterminada 0/0.

Passo 2

Ao substituir x=0 no numerador e no denominador temos:
Numerador: 0^2=0
Denominador: e^0-1=1-1=0
Logo a expressão assume a forma 0/0, que é indeterminada. Quando isso acontece, podemos aplicar a regra de l’Hôpital.

Passo 3

A regra de l’Hôpital diz que, em uma indeterminação 0/0, podemos derivar numerador e denominador separadamente. Derivando temos:
Numerador x^2 torna-se 2x.
Denominador e^x-1 torna-se e^x.
Portanto a nova expressão para o limite é
limxto0 2xe^x

Passo 4

Agora basta avaliar este novo limite. Substituindo x=0 em 2x/e^x obtemos:
2cdot0/e^0=0/1=0.
Como não ficou indeterminado, este é o valor do limite original.

Resposta

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