Determine se o conjuntos de vetores é LI ou LD:
\{(3,-2,-1),(2,-2,1),(1,-2,3)\}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o conjunto de vetores \{(3,-2,-1),(2,-2,1),(1,-2,3)\} é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD).
Informações dadas:
  • Vetor \mathbf{v}_1 = (3,-2,-1).
  • Vetor \mathbf{v}_2 = (2,-2,1).
  • Vetor \mathbf{v}_3 = (1,-2,3).
O que se pede:
  • Verificar se existe uma combinação linear não trivial a\mathbf{v}_1+b\mathbf{v}_2+c\mathbf{v}_3=\mathbf{0}.
    Se a única solução for a=b=c=0, o conjunto é LI; se existir solução com algum coeficiente não nulo, o conjunto é LD.

Passo 2

Definição e método que vou usar (explicando bem devagar):
  • Uma combinação linear dos vetores \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3 é \;a\mathbf{v}_1+b\mathbf{v}_2+c\mathbf{v}_3\; onde a,b,c são escalares.
  • Procuramos soluções do sistema
a\mathbf{v}_1+b\mathbf{v}_2+c\mathbf{v}_3=\mathbf{0}.
  • Se houver solução com (a,b,c)\neq(0,0,0), então há dependência linear.
    Uma maneira rápida em \mathbb{R}^3 é calcular o determinante da matriz formada pelos vetores (como linhas ou colunas): se \det\neq0 então LI; se \det=0 então LD. Vou calcular o determinante e, como for zero, vou também achar explicitamente uma combinação não trivial para mostrar a dependência.

Passo 3

Formo a matriz (cada vetor como linha):
A=\begin{pmatrix} 3 & -2 & -1\\[4pt] 2 & -2 & 1\\[4pt] 1 & -2 & 3 \end{pmatrix}.
Calculo o determinante de A (expansão por co-fatores):
\det(A)= 3\begin{vmatrix}-2 & 1\\[4pt]-2 & 3\end{vmatrix} -(-2)\begin{vmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 3\end{vmatrix} +(-1)\begin{vmatrix}2 & -2\\[4pt]1 & -2\end{vmatrix}.
Agora calcule cada menor:
\begin{vmatrix}-2 & 1\\[4pt]-2 & 3\end{vmatrix}=(-2)\cdot 3 - 1\cdot(-2) = -6+2 = -4,
\begin{vmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 3\end{vmatrix}=2\cdot 3 - 1\cdot 1 = 6-1 = 5,
\begin{vmatrix}2 & -2\\[4pt]1 & -2\end{vmatrix}=2\cdot(-2) - (-2)\cdot 1 = -4 +2 = -2.
Substituindo:
\det(A)=3\cdot(-4) -(-2)\cdot 5 +(-1)\cdot(-2) = -12 +10 +2 = 0.
Como \det(A)=0, os vetores são linearmente dependentes. Para não ficar só na teoria, agora vou achar explicitamente uma combinação não trivial.]

Passo 4

Escrevo o sistema obtido da condição a\mathbf{v}_1+b\mathbf{v}_2+c\mathbf{v}_3=\mathbf{0}\). Isso dá três equações (uma por componente): \[\begin{cases} 3a+2b+1c=0,\\[4pt] -2a-2b-2c=0,\\[4pt] -1a+1b+3c=0. \end{cases}
Explico: cada equação surge igualando a soma das componentes correspondentes a zero (por exemplo, primeira componente: (3a+2b+1c=0]).]

Passo 5

Simplifico a segunda equação:
-2a-2b-2c=0 \quad\Longrightarrow\quad a+b+c=0.
Daí posso expressar c em função de a e b:
c = -a - b.

Passo 6

Substituo c=-a-b na primeira equação 3a+2b+c=0:
3a+2b+(-a-b)=0 \quad\Longrightarrow\quad 2a + b = 0.
Logo
b = -2a.
Volto em c=-a-b:
c = -a -(-2a) = -a + 2a = a.
Portanto os coeficientes estão relacionados por
(a,b,c) = (a,\,-2a,\;a).

Passo 7

Escolho a=1 para obter uma solução explícita não trivial:
(a,b,c)=(1,-2,1).
Verifico a combinação:
1\cdot\mathbf{v}_1 + (-2)\cdot\mathbf{v}_2 + 1\cdot\mathbf{v}_3 = (3,-2,-1) -2(2,-2,1) + (1,-2,3).
Calculo componente a componente:
  • Primeira: 3 - 2\cdot 2 + 1 = 3 -4 +1 =0.
  • Segunda: -2 -2\cdot(-2) -2 = -2 +4 -2 =0.
  • Terceira: -1 -2\cdot 1 +3 = -1 -2 +3 =0.
Portanto
\mathbf{v}_1 -2\mathbf{v}_2 + \mathbf{v}_3 = \mathbf{0},
que é uma combinação linear não trivial igual a zero.

Passo 8

Conclusão: existe uma combinação não trivial que anula os vetores, logo o conjunto é linearmente dependente. (Mostrou-se também explicitamente a relação de dependência.)

Resposta

Linearmente dependentes.

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