Determine se o conjuntos de vetores é LI ou LD: \{(3,-2,-1),(2,-2,1),(1,-2,3)\}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se o conjunto de vetores \{(3,-2,-1),(2,-2,1),(1,-2,3)\} é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD).
Informações dadas:
Vetor \mathbf{v}_1 = (3,-2,-1).
Vetor \mathbf{v}_2 = (2,-2,1).
Vetor \mathbf{v}_3 = (1,-2,3).
O que se pede:
Verificar se existe uma combinação linear não trivial a\mathbf{v}_1+b\mathbf{v}_2+c\mathbf{v}_3=\mathbf{0}.
Se a única solução for a=b=c=0, o conjunto é LI; se existir solução com algum coeficiente não nulo, o conjunto é LD.
Passo 2
Definição e método que vou usar (explicando bem devagar):
Uma combinação linear dos vetores \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3 é \;a\mathbf{v}_1+b\mathbf{v}_2+c\mathbf{v}_3\; onde a,b,c são escalares.
Se houver solução com (a,b,c)\neq(0,0,0), então há dependência linear.
Uma maneira rápida em \mathbb{R}^3 é calcular o determinante da matriz formada pelos vetores (como linhas ou colunas): se \det\neq0 então LI; se \det=0 então LD. Vou calcular o determinante e, como for zero, vou também achar explicitamente uma combinação não trivial para mostrar a dependência.
Como \det(A)=0, os vetores são linearmente dependentes. Para não ficar só na teoria, agora vou achar explicitamente uma combinação não trivial.]
Passo 4
Escrevo o sistema obtido da condição a\mathbf{v}_1+b\mathbf{v}_2+c\mathbf{v}_3=\mathbf{0}\). Isso dá três equações (uma por componente):
\[\begin{cases} 3a+2b+1c=0,\\[4pt] -2a-2b-2c=0,\\[4pt] -1a+1b+3c=0. \end{cases}
Explico: cada equação surge igualando a soma das componentes correspondentes a zero (por exemplo, primeira componente: (3a+2b+1c=0]).]
Passo 5
Simplifico a segunda equação:
-2a-2b-2c=0 \quad\Longrightarrow\quad a+b+c=0.
Daí posso expressar c em função de a e b:
c = -a - b.
Passo 6
Substituo c=-a-b na primeira equação 3a+2b+c=0:
3a+2b+(-a-b)=0 \quad\Longrightarrow\quad 2a + b = 0.
Logo
b = -2a.
Volto em c=-a-b:
c = -a -(-2a) = -a + 2a = a.
Portanto os coeficientes estão relacionados por
(a,b,c) = (a,\,-2a,\;a).
Passo 7
Escolho a=1 para obter uma solução explícita não trivial:
que é uma combinação linear não trivial igual a zero.
Passo 8
Conclusão: existe uma combinação não trivial que anula os vetores, logo o conjunto é linearmente dependente. (Mostrou-se também explicitamente a relação de dependência.)