Determine se o conjuntos de vetores é LI ou LD: \{(1,-2,-1),(3,-2,2)\}
Passo 1
O enunciado dá o conjunto formado por dois vetores em \mathbb{R}^3:
v_1 = (1,-2,-1),\qquad v_2 = (3,-2,2).
A pergunta é: esse conjunto é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD)?
Passo 2
Vou lembrar a definição (passo didático): um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial, isto é, se as únicas escalares \alpha e \beta tais que
\alpha v_1 + \beta v_2 = (0,0,0)
são \alpha=0 e \beta=0. Se existir alguma solução não trivial (algum coeficiente diferente de zero) então o conjunto é linearmente dependente.
Passo 3
Um teste rápido para dois vetores: se um vetor for múltiplo escalar do outro (colineares), então são dependentes; se não for múltiplo, então são independentes. Vou checar se existe \lambda com
v_2 = \lambda v_1.
Comparando coordenadas, pela primeira coordenada teríamos \lambda = \dfrac{3}{1}=3. Se \lambda=3, a segunda coordenada de \lambda v_1 seria 3\cdot(-2) = -6, mas a segunda coordenada de v_2 é -2. Como -6 \neq -2, não existe \lambda que satisfaça todas as coordenadas. Logo v_2 não é múltiplo de v_1.
Passo 4
Como não são múltiplos, isso já indica que os dois vetores não são colineares. Para fixar e mostrar passo a passo na forma da definição, resolvo a combinação linear homogênea explicitamente. Escrevemos