Determine se o conjuntos de vetores é LI ou LD:
\{(1,-2,-1),(3,-2,2)\}

Passo 1

O enunciado dá o conjunto formado por dois vetores em \mathbb{R}^3:
v_1 = (1,-2,-1),\qquad v_2 = (3,-2,2).
A pergunta é: esse conjunto é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD)?

Passo 2

Vou lembrar a definição (passo didático): um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial, isto é, se as únicas escalares \alpha e \beta tais que
\alpha v_1 + \beta v_2 = (0,0,0)
são \alpha=0 e \beta=0. Se existir alguma solução não trivial (algum coeficiente diferente de zero) então o conjunto é linearmente dependente.

Passo 3

Um teste rápido para dois vetores: se um vetor for múltiplo escalar do outro (colineares), então são dependentes; se não for múltiplo, então são independentes. Vou checar se existe \lambda com
v_2 = \lambda v_1.
Comparando coordenadas, pela primeira coordenada teríamos \lambda = \dfrac{3}{1}=3. Se \lambda=3, a segunda coordenada de \lambda v_1 seria 3\cdot(-2) = -6, mas a segunda coordenada de v_2 é -2. Como -6 \neq -2, não existe \lambda que satisfaça todas as coordenadas. Logo v_2 não é múltiplo de v_1.

Passo 4

Como não são múltiplos, isso já indica que os dois vetores não são colineares. Para fixar e mostrar passo a passo na forma da definição, resolvo a combinação linear homogênea explicitamente. Escrevemos
\alpha(1,-2,-1) + \beta(3,-2,2) = (0,0,0).
Isso gera o sistema de equações nas coordenadas:
\begin{cases} \alpha + 3\beta = 0,\\[4pt] -2\alpha -2\beta = 0,\\[4pt] - \alpha + 2\beta = 0. \end{cases}]

Passo 5

Resolver o sistema. Da primeira equação vem
\alpha = -3\beta.
Substituo na segunda equação:
-2(-3\beta) -2\beta = 6\beta -2\beta = 4\beta = 0 \quad\Rightarrow\quad \beta = 0.
Com \beta=0 obtemos \alpha = -3\cdot 0 = 0. Verificando a terceira equação:
- \alpha + 2\beta = -0 + 0 = 0,
é satisfeita. Portanto a única solução é \alpha=0 e \beta=0, ou seja, apenas a combinação trivial.

Passo 6

Conclusão: a única combinação linear que produz o vetor zero é a trivial, então o conjunto é linearmente independente.

Resposta

Linearmente independente (LI)

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