Determine se o conjuntos de vetores é LI ou LD:
Passo 1
O enunciado dá o conjunto formado por dois vetores em
:
A pergunta é: determinar se esse conjunto é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD).
Passo 2
Definição e ideia que vamos usar. Um conjunto
de vetores é linearmente independente se a única solução do sistema de coeficientes
é
e
. Se existe uma solução com
dizemos que o conjunto é linearmente dependente. Para dois vetores em
isso equivale a verificar se um vetor é múltiplo escalar do outro: se um for múltiplo do outro então são LD; se não for múltiplo são LI.
Passo 3
Teste rápido pelo critério do múltiplo escalar. Suponha que exista
tal que
Isso dá duas equações escalares:
Da primeira segue
. Substituindo na segunda teríamos
, o que é falso. Portanto não existe escalar
que transforme
em
: um não é múltiplo do outro.
Passo 4
Método direto pela combinação linear (mais formal). Procura-se
Escrevendo as componentes obtemos o sistema linear
Da segunda equação vem
. Então
. A única solução é
, ou seja, só a combinação trivial produz o vetor nulo.]
Passo 5
Método pela determinante (confirmação): coloque os vetores como colunas da matriz
O determinante é
Como
, as colunas são linearmente independentes. Portanto os vetores não são dependentes.]
Passo 6
Resumo do raciocínio: os dois métodos (checagem de múltiplo, resolução do sistema e determinante) mostram que não existe combinação linear não trivial que gere o vetor nulo. Mantém a calma: o cálculo principal foi simples e rápido — basta verificar se um vetor é múltiplo do outro ou resolver o sistema de duas equações.
Resposta
Linearmente independente (LI)