Determine se o conjuntos de vetores é LI ou LD:
\{(2,-1),(3,4)\}

Passo 1

O enunciado dá o conjunto formado por dois vetores em \mathbb{R}^2:
(2,-1)\quad\text{e}\quad(3,4).
A pergunta é: determinar se esse conjunto é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD).

Passo 2

Definição e ideia que vamos usar. Um conjunto \{v_1,v_2\} de vetores é linearmente independente se a única solução do sistema de coeficientes
\alpha v_1 + \beta v_2 = (0,0)
é \alpha=0 e \beta=0. Se existe uma solução com (\alpha,\beta)\neq(0,0) dizemos que o conjunto é linearmente dependente. Para dois vetores em \mathbb{R}^2 isso equivale a verificar se um vetor é múltiplo escalar do outro: se um for múltiplo do outro então são LD; se não for múltiplo são LI.

Passo 3

Teste rápido pelo critério do múltiplo escalar. Suponha que exista c\in\mathbb{R} tal que
(3,4)=c\,(2,-1).
Isso dá duas equações escalares:
2c=3 \qquad\text{e}\qquad -1\cdot c = 4.
Da primeira segue c=\dfrac{3}{2}. Substituindo na segunda teríamos -\dfrac{3}{2}=4, o que é falso. Portanto não existe escalar c que transforme (2,-1) em (3,4): um não é múltiplo do outro.

Passo 4

Método direto pela combinação linear (mais formal). Procura-se \alpha,\beta\) tais que \[\alpha(2,-1)+\beta(3,4)=(0,0).
Escrevendo as componentes obtemos o sistema linear
\begin{cases} 2\alpha + 3\beta = 0,\\[4pt] -\,\alpha + 4\beta = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem \alpha = 4\beta\]. Substituindo na primeira: \[2(4\beta)+3\beta=0 \quad\Rightarrow\quad 8\beta+3\beta=11\beta=0.\] Logo \(\beta=0. Então \alpha=4\beta=0. A única solução é \alpha=\beta=0, ou seja, só a combinação trivial produz o vetor nulo.]

Passo 5

Método pela determinante (confirmação): coloque os vetores como colunas da matriz
M=\begin{pmatrix}2 & 3\\[2pt]-1 & 4\end{pmatrix}.
O determinante é
\det(M)=2\cdot4 - 3\cdot(-1)=8+3=11.
Como \det(M)\neq0, as colunas são linearmente independentes. Portanto os vetores não são dependentes.]

Passo 6

Resumo do raciocínio: os dois métodos (checagem de múltiplo, resolução do sistema e determinante) mostram que não existe combinação linear não trivial que gere o vetor nulo. Mantém a calma: o cálculo principal foi simples e rápido — basta verificar se um vetor é múltiplo do outro ou resolver o sistema de duas equações.

Resposta

Linearmente independente (LI)

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