Decida se cada afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique a sua resposta através de uma argumento ou um contra-exemplo.
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Se o sistema A X=\overline{0} possui solução única, então o sistema A X=B também possui solução única.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz quadrada A de ordem n. A hipótese é: o sistema homogêneo A X=\overline{0} possui solução única. A pergunta é decidir se a afirmação abaixo é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa e justificar:
\text{Se }A X=\overline{0}\text{ possui solução única, então }A X=B\text{ também possui solução única.}çãúãéçãú
Informações relevantes fornecidas:
  • A é uma matriz quadrada de ordem n.
  • O sistema homogêneo A X=\overline{0} tem solução única (ou seja, só a solução trivial).

Passo 2

Interpretar rigorosamente a hipótese: o sistema homogêneo A X=\overline{0} ter solução única significa que a única solução é X=\overline{0}. Em linguagem linear, isso quer dizer que o núcleo (ou nulidade) de A é trivial:
\ker(A)=\{\overline{0}\}.
Vou explicar o que é \ker(A): é o conjunto de vetores X\in\mathbb{R}^n (ou \mathbb{C}^n) tais que A X=\overline{0}. Dizer que \ker(A)=\{\overline{0}\} significa que nenhum vetor não-nulo é enviado para \overline{0} por A.

Passo 3

Ligar a hipótese com independência linear das colunas de A. Escrevendo A por suas colunas \,A=[a_1\; a_2\; \dots\; a_n]\,, o produto A X é a combinação linear das colunas:
A X = x_1 a_1 + x_2 a_2 + \dots + x_n a_n.
Se A X=\overline{0} só tem a solução X=\overline{0}, então a equação
x_1 a_1 + x_2 a_2 + \dots + x_n a_n = \overline{0}
só admite x_1=\dots=x_n=0. Por definição, isso significa que as colunas a_1,\dots,a_n são linearmente independentes.

Passo 4

Concluir que \operatorname{rank}(A)=n. Explicando: o posto (rank) de A é o número máximo de colunas linearmente independentes. Como as n colunas são independentes, o posto é n. Para uma matriz quadrada de ordem n, ter posto n significa que o posto é máximo (full rank).

Passo 5

Ligar posto máximo com invertibilidade. Para matrizes quadradas vale a equivalência conhecida:
\operatorname{rank}(A)=n \quad\Longleftrightarrow\quad A\text{ é inversível} \quad\Longleftrightarrow\quad \det(A)\neq 0.éí
Vou explicar um pouco: uma matriz inversível é aquela que tem uma matriz A^{-1} tal que A^{-1}A=AA^{-1}=I. Uma condição necessária e suficiente para isso, no caso quadrado, é que as colunas sejam base (independentes e geradoras), i.e. posto n. Assim a hipótese implica que existe A^{-1}.

Passo 6

Usar a invertibilidade para obter existência e unicidade da solução de A X=B. Se A é inversível, então para qualquer vetor B a solução
X = A^{-1}B
existe. Isso prova existência. Agora provar unicidade: suponha que existam duas soluções X_1 e X_2 de A X=B. Então
A X_1 = B,\qquad A X_2 = B.
Subtraindo as equações:
A(X_1-X_2)=\overline{0}.
Mas por hipótese o núcleo é trivial, logo X_1-X_2=\overline{0}, ou seja X_1=X_2. Portanto a solução é única. Alternativamente, se A é inversível, a expressão X=A^{-1}B é única.

Passo 7

Conclusão lógica: a hipótese (sistema homogêneo com única solução) implica que A é invertível; daí, para qualquer B o sistema A X=B tem exatamente uma solução. Não há necessidade de contra-exemplo porque a afirmação é sempre verdadeira sob as hipóteses dadas.

Resposta

Sempre verdadeira.

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