Decida se cada afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique a sua resposta através de uma argumento ou um contra-exemplo.
Seja
uma matriz quadrada de ordem
. Se o sistema
possui solução única, então o sistema
também possui solução única.
Seja
Passo 1
O enunciado dá uma matriz quadrada
de ordem
. A hipótese é: o sistema homogêneo
possui solução única. A pergunta é decidir se a afirmação abaixo é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa e justificar:
Informações relevantes fornecidas:
-
é uma matriz quadrada de ordem . - O sistema homogêneo
tem solução única (ou seja, só a solução trivial).
Passo 2
Interpretar rigorosamente a hipótese: o sistema homogêneo
ter solução única significa que a única solução é
. Em linguagem linear, isso quer dizer que o núcleo (ou nulidade) de
é trivial:
Vou explicar o que é
: é o conjunto de vetores
(ou
) tais que
. Dizer que
significa que nenhum vetor não-nulo é enviado para
por
.
Passo 3
Ligar a hipótese com independência linear das colunas de
. Escrevendo
por suas colunas
, o produto
é a combinação linear das colunas:
Se
só tem a solução
, então a equação
só admite
. Por definição, isso significa que as colunas
são linearmente independentes.
Passo 4
Concluir que
. Explicando: o posto (rank) de
é o número máximo de colunas linearmente independentes. Como as
colunas são independentes, o posto é
. Para uma matriz quadrada de ordem
, ter posto
significa que o posto é máximo (full rank).
Passo 5
Ligar posto máximo com invertibilidade. Para matrizes quadradas vale a equivalência conhecida:
Vou explicar um pouco: uma matriz inversível é aquela que tem uma matriz
tal que
. Uma condição necessária e suficiente para isso, no caso quadrado, é que as colunas sejam base (independentes e geradoras), i.e. posto
. Assim a hipótese implica que existe
.
Passo 6
Usar a invertibilidade para obter existência e unicidade da solução de
. Se
é inversível, então para qualquer vetor
a solução
existe. Isso prova existência. Agora provar unicidade: suponha que existam duas soluções
e
de
. Então
Subtraindo as equações:
Mas por hipótese o núcleo é trivial, logo
, ou seja
. Portanto a solução é única. Alternativamente, se
é inversível, a expressão
é única.
Passo 7
Conclusão lógica: a hipótese (sistema homogêneo com única solução) implica que
é invertível; daí, para qualquer
o sistema
tem exatamente uma solução. Não há necessidade de contra-exemplo porque a afirmação é sempre verdadeira sob as hipóteses dadas.
Resposta
Sempre verdadeira.