Determine, considerando x>0, a solução geral de:
x^2 y^prime prime+x y^prime-9 y=x^-3+x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação de Cauchy–Euler
x^2y'' + x y' - 9y = x^-3 + x, x>0
O conteúdo envolvido é a resolução de uma equação de Euler (ou equidimensional), que se resolve em dois passos: (i) achar a solução homogênea assumindo y=x^m, (ii) encontrar uma solução particular para o termo não homogêneo usando tentativas adequadas (undetermined coefficients adaptado a Euler).

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos y!h=x^m. Substituindo em
x^2y'' + x y' - 9y = 0
vem a equação característica
m(m-1) + m - 9 = m^2 - 9 = 0,
cuja solução é m=pm 3. Logo
y!h = C1,x^3 + C2,x^-3,
com C1,C2 constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora caçamos uma particular que anule o termo x^-3. Como x^-3 já está na homogênea (raiz m=-3), multiplicamos por ln x e tentamos
yp1 = A,x^-3ln x
Calculamos as derivadas:
yp1' = A,x^-4(1 - 3ln x), yp1'' = A,x^-5(12ln x - 7)
Substituindo no operador de Euler:
x^2yp1'' + x yp1' - 9yp1 = A,x^-3l(12ln x - 7 + 1 - 3ln x - 9ln xr) = -6A,x^-3
Para anular x^-3 e igualar a x^-3 do lado direito, basta
-6A,x^-3 = x^-3 Longrightarrow A = -16
Portanto
yp1 = -16,x^-3ln x

Passo 4

Para o termo x não há conflito com m=3 ou -3, logo tentamos
yp2 = B,x
Daí
yp2' = B, yp2'' = 0,
e
x^2yp2'' + x yp2' - 9yp2 = 0 + Bx - 9Bx = -8B,x
Para que isso seja igual a x, precisamos de
-8B,x = x Longrightarrow B = -18
Assim
yp2 = -18,x

Passo 5

A solução geral é a soma da homogênea com as particulares:
y = y!h + yp1 + yp2 = C1,x^3 + C2,x^-3 -16,x^-3ln x -18,x

Resposta

y = C1,x^3 + C2,x^-3 -16,x^-3ln x -18,x,
com C1,C2 constantes arbitrárias.

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