Determine, considerando
, a solução geral de:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação de Cauchy–Euler
O conteúdo envolvido é a resolução de uma equação de Euler (ou equidimensional), que se resolve em dois passos: (i) achar a solução homogênea assumindo
, (ii) encontrar uma solução particular para o termo não homogêneo usando tentativas adequadas (undetermined coefficients adaptado a Euler).
Passo 2
Para a parte homogênea consideramos
. Substituindo em
vem a equação característica
cuja solução é
. Logo
com
constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora caçamos uma particular que anule o termo
. Como
já está na homogênea (raiz
), multiplicamos por
e tentamos
Calculamos as derivadas:
Substituindo no operador de Euler:
Para anular
e igualar a
do lado direito, basta
Portanto
Passo 4
Para o termo
não há conflito com
ou
, logo tentamos
Daí
e
Para que isso seja igual a
, precisamos de
Assim
Passo 5
A solução geral é a soma da homogênea com as particulares:
Resposta
com
constantes arbitrárias.