Determine, considerando , a solução geral de:

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação de Euler–Cauchy
x^2y''+x,y'+9y=senl(ln x^3r),
considerando x>0. Vamos usar a mudança de variável típica para equações de Euler–Cauchy, que é
t=ln x, u(t)=y(e^t),
de modo a transformar a equação numa de coeficientes constantes e depois aplicar o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Com t=ln x e u(t)=y(x), derivamos
y'=dudx=u'x, y''=ddxl(u'xr) =u''-u'x^2
Substituindo em x^2y''+x,y'+9y
x^2y''+x,y'+9y=(u''-u')+u'+9u =u''+9u,
e como sen(ln x^3)=sen(3t), a equação vira
u''+9u=sen(3t)

Passo 3

O homogêneo associado é
u''+9u=0
com equação característica r^2+9=0, cujas raízes são r=pm3i. Logo a solução geral do homogêneo é
uh(t)=C1cos(3t)+C2sin(3t)

Passo 4

Como o termo forçante sen(3t) coincide com a solução do homogêneo (resonância), tentamos
up(t)=A,tcos(3t)+B,tsin(3t)
Calculando up''+9up obtemos
up''+9up=6Bcos(3t)-6Asin(3t)
Para isso ser igual a sen(3t) precisamos de
6B=0, -6A=1 Longrightarrow B=0, A=-tfrac16
Assim
up(t)=-16,tcos(3t)

Passo 5

A solução geral em t é
u(t)=uh(t)+up(t) =C1cos(3t)+C2sin(3t)-16,tcos(3t)
Voltando a x com t=ln x, obtemos
y(x) =C1cosl(3ln xr) +C2sinl(3ln xr) -16,ln x;cosl(3ln xr)

Resposta

y(x) =C1cosl(3ln xr) +C2sinl(3ln xr) -16,ln x;cosl(3ln xr)

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