Encontre as soluções gerais das equações diferenciais seguintes.
4 y^prime prime+8 y^prime+3 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
4,y'' + 8,y' + 3,y = 0
Para resolver, vamos usar o método do polinômio característico.

Passo 2

Formamos o polinômio característico trocando ymapsto e^r x, o que leva a
4,r^2 + 8,r + 3 = 0
Calculamos as raízes pela fórmula de Bhaskara:
r = -8 pm raiz8^2 - 4cdot4cdot32cdot4 = -8 pm raiz64 - 488 = -8 pm 48
Isso dá
r1 = -tfrac12, r2 = -tfrac32

Passo 3

Como as raízes r1 e r2 são reais e distintas, a solução geral é
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x = C1 e^-tfrac12x + C2 e^-tfrac32x,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C1 e^-tfrac12x + C2 e^-tfrac32x

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