Determine a constante c \in \mathbb{R} de modo que as funções abaixo sejam contínuas em \mathbb{R} :
g(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}-c^{2}, x \leq 4 \\\ c x+20, x>4\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá uma função definida por partes
g(x)= \begin{cases} x^{2}-c^{2}, & x\le 4,\\\ c\,x+20, & x>4, \end{cases}
e pede o valor de c para que g seja contínua em \mathbb{R}. Como cada ramo é polinomial (logo contínuo) em sua região, só precisamos garantir continuidade em x=4, isto é, fazer o limite pela esquerda igual ao limite pela direita.

Passo 2

Calculamos o valor à esquerda de x=4:
\lim_{x\to4^-}g(x)=4^{2}-c^{2}=16 - c^{2}.

Passo 3

Calculamos o valor à direita de x=4:
\lim_{x\to4^+}g(x)=c\cdot4+20=4c+20.

Passo 4

Impondo continuidade em x=4, igualamos os dois limites:
16 - c^{2} = 4c + 20.
Reorganizando,
-c^{2}-4c-4=0 \quad\Longrightarrow\quad c^{2}+4c+4=0 \quad\Longrightarrow\quad (c+2)^{2}=0.
Logo,
c = -2.

Resposta

-2

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