Determine a constante c \in \mathbb{R} de modo que as funções abaixo sejam contínuas em \mathbb{R} :
f(x)=\left\{\begin{array}{l}c x+1, x \leq 3 \\\ c x^{2}-1, x>3\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)= \begin{cases} c x + 1, & x \le 3,\\\ c x^{2} - 1, & x > 3, \end{cases}
e quer o valor de c que torne f contínua em \mathbb{R}. Como ambas as expressões são polinomiais (portanto contínuas em seus domínios), o único ponto que pode causar descontinuidade é x=3. Para garantir continuidade em x=3, precisamos igualar o limite à esquerda e o limite à direita em x=3, ou seja, fazer com que os dois ramos de f tenham o mesmo valor em x=3.

Passo 2

Calcule o valor à esquerda em x=3:
f(3^{-}) = c\cdot 3 + 1 = 3c + 1.
Calcule o valor à direita em x=3:
f(3^{+}) = c\cdot 3^{2} - 1 = 9c - 1.
Para continuidade, imponha
3c + 1 = 9c - 1.

Passo 3

Resolva a equação
3c + 1 = 9c - 1
Subtraindo 3c de ambos os lados e somando 1 a ambos:
1 + 1 = 9c - 3c
2 = 6c
c = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}

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