(a) Determine a constante real e positiva A que garanta que a probabilidade total de encontrar o elétron na região -infty seja igual a 1. Como dito no exercício anterior, chamamos esse processo de normalização da função de onda. Você pode usar o resultado
integral-infty^infty e^-alpha x^2 d x=raizpialpha
que é válido para qualquer alpha número real e positivo.
(b) Então, com este valor de A, e assumindo sigma=1, calcule explicitamente a probabilidade de encontrar o elétron na região d x=10^-3 centrada em x=0.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede duas coisas:
(a) Normalizar a função de onda
psi(x)=A,e^-x^2/(2sigma^2)
de modo que
.
(b) Com e o que encontramos, calcular a probabilidade de achar o elétron em um pedacinho de largura em volta de .
Para isso a gente vai usar a integral
.

Passo 2

Normalização (parte a):
  1. Escreve |psi(x)|^2 ;=; A^2,e^-x^2/sigma^2 :
integral-infty^inftyA^2,e^-x^2/sigma^2dx = 1
  1. Impõe a condição
integral-infty^inftye^-x^2/sigma^2dx = raizpi1/sigma^2 = sigmaraizpi
  1. Reconhece que aqui A^2;l(sigmaraizpir)=1 Longrightarrow A^2=1sigmaraizpi Longrightarrow A=1sigma^1/2,pi^1/4 . Então
  1. Logo

Passo 3

Probabilidade num pedaço de largura |psi(x)|^2 = A^2,e^-x^2/sigma^2 em |psi(0)|^2 = A^2,e^0 = A^2 (parte b):
  1. A densidade de probabilidade em P approx |psi(0)|^2,dx = A^2,dx é
  1. No ponto isso vira
  1. Então, para um intervalo bem pequenininho,

Resposta

(a) A^2 = 1raizpi, P = 10^-3raizpiapprox5,64times10^-4 .
(b) Para e :

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