comlang<= p^2rang<==2 mlang<= Erang<=. Para o primeiro estado excitado de uma partícula em um poço infinito unidimensional, calcule:
a) lang<= prang<=^2.
b) lang<= p^2rang<=. Perceba que lang<= p^2rang<= neqlang<= prang<=^2.
c) lang<= Erang<=.
d) Baseando-se nos itens anteriores confira que de fato lang<= p^2rang<==2 mlang<= Erang<= é válido.

Passo 1

Beleza, o enunciado manda calcular, pro primeiro estado excitado (ou seja, lang<= Arang<= = integral0^a psi^*(x),hat A,psi(x),dx ) de uma partícula num poço infinito unidimensional de largura :
a)
b)
c)
d) checar que .
Conteúdo: Mecânica Quântica – poço infinito, funções de onda estacionárias, operadores de momento e energia e valores esperados. Vamos precisar da forma da função de onda , do operador , da energia e das integrais de valor esperado

Passo 2

Escrevendo a função de onda normalizada para psi2(x) = raiz2a;sin!l(tfrac2pi xar), :
com .

Passo 3

Calcular lang<= prang<= =integral0^a psi2^*(x),l(-ihbartfracddxr),psi2(x),dx :
lang<= prang<= = 0 Longrightarrow lang<= prang<=^2 = 0
Como é real, o integrando vira algo proporcional a , que integra zero em . Logo

Passo 4

Calcular lang<= p^2rang<= =integral0^a psi2^*(x),l(-hbar^2tfracd^2dx^2r),psi2(x),dx :
d^2dx^2sinl(tfrac2pi xar) =-l(tfrac2piar)^2 sinl(tfrac2pi xar)
Mas a gente já sabe que
lang<= p^2rang<= =-hbar^2!integral0^a psi2(x)l[-l(tfrac2piar)^2psi2(x)r]dx =hbar^2l(tfrac2piar)^2 integral0^a psi2^2(x),dx
Então
boxedlang<= p^2rang<= = 4pi^2hbar^2a^2
A integral de é 1 (função normalizada), logo

Passo 5

Calcular En = n^2pi^2hbar^22m,a^2 . Num poço infinito, os autovalores de energia são
boxedlang<= Erang<= = E2 = 4pi^2hbar^22m,a^2 = 2pi^2hbar^2m,a^2
Para :

Passo 6

Verificar 2m,lang<= Erang<= =2m;2pi^2hbar^2m,a^2 =4pi^2hbar^2a^2 =lang<= p^2rang<= :
Show que bate certinho.

Resposta

a) .
b) .
c) .
d) De fato, .

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