Determine as constantes a, b e c, \operatorname{com} b \neq 0, para que as funções reais
f(x)=a x+2, \quad g(x)=x+b \quad \text { e } \quad h(x)=\frac{x+5}{x+c}
satisfaçam:
h=h^{-1}.

Passo 1

O enunciado dá as funções reais
f(x)=a x+2,\qquad g(x)=x+b,\qquad h(x)=\frac{x+5}{x+c},
com a restrição b\neq0, e pede para determinar as constantes a, b e c de modo que
h=h^{-1}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As incógnitas são a, b e c.
  • Há a condição b\neq0.
  • A única condição que precisa ser satisfeita é que h seja igual à sua função inversa, isto é, h(h(x))=x (onde as composições são definidas).
  • Observação importante: h(x) está definida para x\neq -c (denominador não nulo). Ao compor h com ela mesma precisaremos evitar valores que tornem denominadores nulos.

Passo 2

O que significa h=h^{-1} na prática? Vou explicar devagarinho.
  • Para uma função h ter inversa h^{-1} (e ser igual a ela), é preciso que h seja bijetora no domínio/contradomínio apropriado; porém, na prática algébrica podemos exigir que a composição satisfaça
h(h(x))=x
para todo x no domínio de h tal que a composição faça sentido. Essa condição caracteriza funções que são involuções (auto-inversas). Portanto, vamos exigir e resolver
h(h(x))=x.

Passo 3

Vamos calcular explicitamente h(h(x)). Primeiro escrevo h(x):
h(x)=\frac{x+5}{x+c}.
Agora substituo x por h(x) dentro de h:
h(h(x))=\frac{\dfrac{x+5}{x+c}+5}{\dfrac{x+5}{x+c}+c}.
Vou simplificar numerador e denominador separadamente, sempre mostrando cada passo.

Passo 4

Calculo do numerador:
\frac{x+5}{x+c}+5=\frac{x+5+5(x+c)}{x+c}.
Explicando: somei as frações escrevendo 5 como \dfrac{5(x+c)}{x+c} para ter denominador comum. Agora simplifico o numerador:
x+5+5(x+c)=x+5+5x+5c=6x+5+5c.
Logo o numerador simplificado é \dfrac{6x+5+5c}{x+c}.

Passo 5

Calculo do denominador:
\frac{x+5}{x+c}+c=\frac{x+5+c(x+c)}{x+c}.
Explicando: escrevi c como \dfrac{c(x+c)}{x+c}. Agora simplifico o numerador:
x+5+c(x+c)=x+5+cx+c^2=(1+c)x+5+c^2.
Logo o denominador simplificado é \dfrac{(1+c)x+5+c^2}{x+c}.

Passo 6

Agora coloco numerador e denominador simplificados na expressão de h(h(x)). Como ambos têm o mesmo denominador x+c, eles se cancelam na divisão:
h(h(x))=\frac{\dfrac{6x+5+5c}{x+c}}{\dfrac{(1+c)x+5+c^2}{x+c}}=\frac{6x+5+5c}{(1+c)x+5+c^2}.

Passo 7

Imponho a condição de involução h(h(x))=x. Assim devemos ter
\frac{6x+5+5c}{(1+c)x+5+c^2}=x,
para todo x onde a expressão faz sentido. Multiplicando em ambos os lados pelo denominador obtemos a identidade polinomial
6x+5+5c = x\bigl((1+c)x+5+c^2\bigr).
Desenvolvendo o lado direito:
6x+5+5c = (1+c)x^2 + (5+c^2)x.

Passo 8

Para que uma igualdade entre polinômios seja verdadeira para todo x (na interseção dos domínios), os coeficientes dos mesmos graus devem coincidir. Igualando coeficientes em ambos os lados:
  • Coeficiente de x^2: 0 no lado esquerdo e 1+c no direito. Logo
1+c=0.
  • Coeficiente de x: 6 no lado esquerdo e 5+c^2 no direito. Logo
5+c^2=6.
  • Termo constante: 5+5c no lado esquerdo e 0 no direito. Logo
5+5c=0.

Passo 9

Resolvo o sistema obtido das igualdades de coeficientes.
  • Da primeira equação 1+c=0 segue
c=-1.
  • Verifico nas outras duas equações substituindo c=-1.
    Para 5+c^2=6:
5+(-1)^2=5+1=6,
essa é satisfeita.
Para 5+5c=0:
5+5(-1)=5-5=0,
também satisfeita.
Portanto c=-1 resolve todas as condições simultaneamente.

Passo 10

Conclusão sobre a e b. Note que a condição h=h^{-1} impôs apenas uma equação sobre c; não apareceu a nem b nas contas porque f e g não participavam da condição pedida. Assim:
  • a pode ser qualquer número real (não há restrição no enunciado ligada a a).
  • b pode ser qualquer número real, exceto que o enunciado exige b\neq0, então b\in\mathbb{R}\setminus\{0\}.
  • E já encontramos c=-1.
Observação sobre domínio: para c=-1 a função fica
h(x)=\frac{x+5}{x-1},
que é definida para x\neq1. A composição h(h(x)) também está bem definida para x que não tornem nenhum denominador nulo; a identidade verificada vale como identidade racional e, portanto, caracteriza h como involução em seu domínio.

Resposta

\displaystyle a\in\mathbb{R} (qualquer)\newline
\displaystyle b\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\newline
\displaystyle c=-1

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