Determine as constantes
e
, para que as funções reais
satisfaçam:
.
Passo 1
O enunciado dá as funções reais
com a restrição
, e pede para determinar as constantes
,
e
de modo que
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- As incógnitas são
, e . - Há a condição
. - A única condição que precisa ser satisfeita é que
seja igual à sua função inversa, isto é, (onde as composições são definidas). - Observação importante:
está definida para (denominador não nulo). Ao compor com ela mesma precisaremos evitar valores que tornem denominadores nulos.
Passo 2
O que significa
na prática? Vou explicar devagarinho.
- Para uma função
ter inversa (e ser igual a ela), é preciso que seja bijetora no domínio/contradomínio apropriado; porém, na prática algébrica podemos exigir que a composição satisfaça
para todo
no domínio de
tal que a composição faça sentido. Essa condição caracteriza funções que são involuções (auto-inversas). Portanto, vamos exigir e resolver
Passo 3
Vamos calcular explicitamente
. Primeiro escrevo
:
Agora substituo
por
dentro de
:
Vou simplificar numerador e denominador separadamente, sempre mostrando cada passo.
Passo 4
Calculo do numerador:
Explicando: somei as frações escrevendo
como
para ter denominador comum. Agora simplifico o numerador:
Logo o numerador simplificado é
.
Passo 5
Calculo do denominador:
Explicando: escrevi
como
. Agora simplifico o numerador:
Logo o denominador simplificado é
.
Passo 6
Agora coloco numerador e denominador simplificados na expressão de
. Como ambos têm o mesmo denominador
, eles se cancelam na divisão:
Passo 7
Imponho a condição de involução
. Assim devemos ter
para todo
onde a expressão faz sentido. Multiplicando em ambos os lados pelo denominador obtemos a identidade polinomial
Desenvolvendo o lado direito:
Passo 8
Para que uma igualdade entre polinômios seja verdadeira para todo
(na interseção dos domínios), os coeficientes dos mesmos graus devem coincidir. Igualando coeficientes em ambos os lados:
- Coeficiente de
: no lado esquerdo e no direito. Logo
- Coeficiente de
: no lado esquerdo e no direito. Logo
- Termo constante:
no lado esquerdo e no direito. Logo
Passo 9
Resolvo o sistema obtido das igualdades de coeficientes.
- Da primeira equação
segue
- Verifico nas outras duas equações substituindo
.
Para:
essa é satisfeita.
Para :
Para
também satisfeita.
Portanto resolve todas as condições simultaneamente.
Portanto
Passo 10
Conclusão sobre
e
. Note que a condição
impôs apenas uma equação sobre
; não apareceu
nem
nas contas porque
e
não participavam da condição pedida. Assim:
-
pode ser qualquer número real (não há restrição no enunciado ligada a ). -
pode ser qualquer número real, exceto que o enunciado exige , então . - E já encontramos
.
Observação sobre domínio: para
a função fica
que é definida para
. A composição
também está bem definida para
que não tornem nenhum denominador nulo; a identidade verificada vale como identidade racional e, portanto, caracteriza
como involução em seu domínio.