Determine as constantes a, b e c, \operatorname{com} b \neq 0, para que as funções reais
f(x)=a x+2, \quad g(x)=x+b \quad \text { e } \quad h(x)=\frac{x+5}{x+c}
satisfaçam:
f \circ g=g \circ f

Passo 1

O enunciado dá as três funções
f(x)=a x+2,\qquad g(x)=x+b,\qquad h(x)=\frac{x+5}{x+c},
com a condição adicional b\neq 0. A pergunta é: determinar as constantes a, b e c tais que
f\circ g = g\circ f.
Ou seja, achar a,b,c que façam as duas composições serem iguais como funções reais.

Passo 2

Lembrete rápido (o que é composição de funções). Para duas funções reais F e G, o composto F\circ G é a função definida por (F\circ G)(x)=F(G(x)). Aqui vamos calcular explicitamente (f\circ g)(x). Aplicando g primeiro e depois f:
(f\circ g)(x)=f\big(g(x)\big)=f(x+b)=a(x+b)+2.
Desenvolvendo:
(f\circ g)(x)=a x + a b + 2.

Passo 3

Agora calculamos (g\circ f)(x). Aplicando f primeiro e depois g:
(g\circ f)(x)=g\big(f(x)\big)=g(a x+2)=(a x+2)+b.
Desenvolvendo:
(g\circ f)(x)=a x + (2+b).

Passo 4

Para que f\circ g e g\circ f representem a mesma função, as expressões obtidas devem ser iguais para todo x\in\mathbb{R}. Assim exigimos
a x + a b + 2 = a x + (2+b)\quad\text{para todo }x.
Subtraindo a x dos dois lados e subtraindo 2, obtemos a condição sobre as constantes:
a b = b.

Passo 5

Da equação a b = b temos duas possibilidades em geral: b=0 ou a=1. Mas o enunciado impõe b\neq 0. Como b\neq 0, podemos dividir por b e concluir
a=1.
Expliquei isso porque, se b fosse zero, qualquer a satisfaria a b=b, mas esse caso está proibido.

Passo 6

Conclusão sobre b e c. A condição de comutatividade impôs somente a=1 (sob b\neq 0). Não surgiu nenhuma condição sobre b além de b\neq 0, logo b pode ser qualquer número real não nulo:
b\in\mathbb{R}\setminus\{0\}.
A constante c aparece apenas em h e não entrou na relação f\circ g=g\circ f; portanto c permanece livre — qualquer c\in\mathbb{R} é permitido (observação: a função h tem domínio \mathbb{R}\setminus\{-c\}, mas isso não impede escolher qualquer valor de c).

Passo 7

Exemplo numérico para fixar a ideia (verificação rápida): escolha a=1 e, por exemplo, b=3. Então
f(x)=x+2,\qquad g(x)=x+3.
Calculando as composições:
(f\circ g)(x)=f(x+3)=(x+3)+2=x+5,
(g\circ f)(x)=g(x+2)=(x+2)+3=x+5.
As duas saídas coincidem para todo x, confirmando a solução.

Resposta

a=1
b\in\mathbb{R}\setminus\{0\}
c\in\mathbb{R}

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