Determine as constantes
e
, para que as funções reais
satisfaçam:
Passo 1
O enunciado dá as três funções
com a condição adicional
. A pergunta é: determinar as constantes
,
e
tais que
Ou seja, achar
que façam as duas composições serem iguais como funções reais.
Passo 2
Lembrete rápido (o que é composição de funções). Para duas funções reais
e
, o composto
é a função definida por
. Aqui vamos calcular explicitamente
. Aplicando
primeiro e depois
:
Desenvolvendo:
Passo 3
Agora calculamos
. Aplicando
primeiro e depois
:
Desenvolvendo:
Passo 4
Para que
e
representem a mesma função, as expressões obtidas devem ser iguais para todo
. Assim exigimos
Subtraindo
dos dois lados e subtraindo
, obtemos a condição sobre as constantes:
Passo 5
Da equação
temos duas possibilidades em geral:
ou
. Mas o enunciado impõe
. Como
, podemos dividir por
e concluir
Expliquei isso porque, se
fosse zero, qualquer
satisfaria
, mas esse caso está proibido.
Passo 6
Conclusão sobre
e
. A condição de comutatividade impôs somente
(sob
). Não surgiu nenhuma condição sobre
além de
, logo
pode ser qualquer número real não nulo:
A constante
aparece apenas em
e não entrou na relação
; portanto
permanece livre — qualquer
é permitido (observação: a função
tem domínio
, mas isso não impede escolher qualquer valor de
).
Passo 7
Exemplo numérico para fixar a ideia (verificação rápida): escolha
e, por exemplo,
. Então
Calculando as composições:
As duas saídas coincidem para todo
, confirmando a solução.