e pede: determinar as constantes \,A e \,B para que a função seja contínua em a=1.
Informações relevantes fornecidas:
Para x>1: f(x)=x+A.
Para x=1: f(1)=B.
Para x<1: f(x)=2x.
O objetivo é garantir continuidade em x=1.
Passo 2
Definição que vamos usar (explicada com calma): a função f é contínua em x=1 se o limite à esquerda em 1, o limite à direita em 1 e o valor da função em 1 são todos iguais. Em símbolos:
\lim_{x\to1^-} f(x)=\lim_{x\to1^+} f(x)=f(1).
Aqui:
\lim_{x\to1^-} f(x) é o valor que f(x) se aproxima quando x chega a 1 vindo por valores menores que 1.
\lim_{x\to1^+} f(x) é o valor que f(x) se aproxima quando x chega a 1 vindo por valores maiores que 1.
f(1)=B é o valor definido no próprio ponto.
Passo 3
Calcular o limite pela esquerda. Para x<1 temos f(x)=2x. Como 2x é uma função linear (sem descontinuidade), o limite ao aproximar x de 1 pela esquerda é simplesmente o valor em x=1:
Calcular o limite pela direita. Para x>1 temos f(x)=x+A. Novamente é uma função linear em x, então o limite ao aproximar x de 1 pela direita é o valor obtido substituindo x=1:
\lim_{x\to1^+} f(x)=\lim_{x\to1^+} (x+A)=1+A.
Passo 5
Impor a condição de continuidade: os dois limites devem ser iguais entre si e iguais a f(1)=B. Ou seja,
\lim_{x\to1^-} f(x)=\lim_{x\to1^+} f(x)=f(1)
torna-se
2 = 1 + A = B.
Resolver essas igualdades:
2 = 1 + A \quad\Rightarrow\quad A = 2-1 = 1,
e então
B = 2.
Passo 6
Verificação rápida (para ficar tranquilo): com A=1 a expressão para x>1 dá x+1, cujo limite em 1 é 2; a expressão para x<1 dá 2x, cujo limite em 1 é 2; e f(1)=B=2. Todos iguais, portanto a função é contínua em 1.