1. Determine as constantes A e B para que a função abaixo seja contínua em a=1.
f(x)= \begin{cases}x+A, & x>1 \\\ B, & x=1 \\\\ 2 x, & x<1\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função definida por partes
f(x)= \begin{cases}x+A, & x>1 \\\ B, & x=1 \\\\ 2 x, & x<1\end{cases}
e pede: determinar as constantes \,A e \,B para que a função seja contínua em a=1.
Informações relevantes fornecidas:
  • Para x>1: f(x)=x+A.
  • Para x=1: f(1)=B.
  • Para x<1: f(x)=2x.
  • O objetivo é garantir continuidade em x=1.

Passo 2

Definição que vamos usar (explicada com calma): a função f é contínua em x=1 se o limite à esquerda em 1, o limite à direita em 1 e o valor da função em 1 são todos iguais. Em símbolos:
\lim_{x\to1^-} f(x)=\lim_{x\to1^+} f(x)=f(1).
Aqui:
  • \lim_{x\to1^-} f(x) é o valor que f(x) se aproxima quando x chega a 1 vindo por valores menores que 1.
  • \lim_{x\to1^+} f(x) é o valor que f(x) se aproxima quando x chega a 1 vindo por valores maiores que 1.
  • f(1)=B é o valor definido no próprio ponto.

Passo 3

Calcular o limite pela esquerda. Para x<1 temos f(x)=2x. Como 2x é uma função linear (sem descontinuidade), o limite ao aproximar x de 1 pela esquerda é simplesmente o valor em x=1:
\lim_{x\to1^-} f(x)=\lim_{x\to1^-} 2x = 2\cdot 1 = 2.

Passo 4

Calcular o limite pela direita. Para x>1 temos f(x)=x+A. Novamente é uma função linear em x, então o limite ao aproximar x de 1 pela direita é o valor obtido substituindo x=1:
\lim_{x\to1^+} f(x)=\lim_{x\to1^+} (x+A)=1+A.

Passo 5

Impor a condição de continuidade: os dois limites devem ser iguais entre si e iguais a f(1)=B. Ou seja,
\lim_{x\to1^-} f(x)=\lim_{x\to1^+} f(x)=f(1)
torna-se
2 = 1 + A = B.
Resolver essas igualdades:
2 = 1 + A \quad\Rightarrow\quad A = 2-1 = 1,
e então
B = 2.

Passo 6

Verificação rápida (para ficar tranquilo): com A=1 a expressão para x>1 x+1, cujo limite em 1 é 2; a expressão para x<1 2x, cujo limite em 1 é 2; e f(1)=B=2. Todos iguais, portanto a função é contínua em 1.

Resposta

A=1
B=2

Exercícios relacionados