Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função tal que
f(x+y)=f(x)+f(y) \text { e } f(x y)=f(x) f(y), \quad \forall x, y \in \mathbb{R}
Prove que, se f é contínua, então ou f=\operatorname{Id}_{\mathbb{R}} ou f=0.
Passo 1
O enunciado nos dá uma função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} que satisfaz, para todos x,y\in\mathbb{R},
f(x+y)=f(x)+f(y)
e
f(xy)=f(x)f(y).
Além disso, f é contínua (em todo \mathbb{R}). O que se pede: provar que ou f é a aplicação identidade (f(x)=x para todo x) ou f é a função nula (f(x)=0 para todo x). Vou agora extrair e listar as informações relevantes:
f é aditiva: f(x+y)=f(x)+f(y).
f é multiplicativa: f(xy)=f(x)f(y).
f é contínua em \mathbb{R}.
Objetivo final: mostrar que as únicas possibilidades são f\equiv 0 ou f=\operatorname{Id}_{\mathbb{R}}.
Passo 2
Provar que f(0)=0.
Explicação e cálculo passo a passo: use a propriedade aditiva com x=0 e y=0:
f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0).
Isto é uma equação em f(0). Subtraindo f(0) de ambos os lados obtemos
0=f(0).
Portanto \,f(0)=0. (Isso é padrão: qualquer função aditiva satisfaz f(0)=0.)
Passo 3
Analisar f(1). Seja c=f(1). Usando a propriedade multiplicativa com x=y=1:
Isso trata todos os racionais (positivos e negativos, incluindo zero). Portanto f(q)=q para todo q\in\mathbb{Q}.
Passo 7
Usar continuidade para estender a igualdade dos racionais aos reais.
Explicando os conceitos (didaticamente): continuidade significa, intuitivamente, que valores de f variam sem “saltos”: se x_n\to x então f(x_n)\to f(x). A densidade dos racionais diz que para todo x\in\mathbb{R} existe uma sequência de racionais (r_n) tal que r_n\to x. Juntando as duas ideias: se r_n são racionais aproximando x, então f(r_n)=r_n (porque já provamos que f é identidade nos racionais), e por continuidade