Determine as constantes a, b de modo que f(z) = 3(x - i) - y(1 - i b) + (5 + i a x) seja analítica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as constantes e de modo que a função seja analítica.
Matéria envolvida: Noções de funções de variável complexa e as Equações de Cauchy-Riemann, que são fundamentais para determinar se uma função é analítica.
O que vamos precisar: Identificar as partes reais e imaginárias da função e aplicar as Equações de Cauchy-Riemann para encontrar e .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de forma que fique clara a parte real e a parte imaginária. Lembrando que , onde e são números reais.
A função dada é:
Vamos distribuir os termos para separar as partes reais e imaginárias:
Agrupando os termos reais e imaginários:
Aqui, identificamos que:
á

Passo 3

Agora, para que a função seja analítica, ela precisa satisfazer as Equações de Cauchy-Riemann. Essas equações dizem que:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Primeiro, calculemos e :
Em seguida, calculemos e :

Passo 4

Agora, aplicamos as Equações de Cauchy-Riemann:
  1. Igualando com :
  1. Igualando com :

Resposta

As constantes que tornam analítica são e .

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