Determine as constantes
de modo que
seja analítica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as constantes
e
de modo que a função
seja analítica.
Matéria envolvida: Noções de funções de variável complexa e as Equações de Cauchy-Riemann, que são fundamentais para determinar se uma função é analítica.
O que vamos precisar: Identificar as partes reais e imaginárias da função
e aplicar as Equações de Cauchy-Riemann para encontrar
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
de forma que fique clara a parte real e a parte imaginária. Lembrando que
, onde
e
são números reais.
A função dada é:
Vamos distribuir os termos para separar as partes reais e imaginárias:
Agrupando os termos reais e imaginários:
Aqui, identificamos que:
Passo 3
Agora, para que a função
seja analítica, ela precisa satisfazer as Equações de Cauchy-Riemann. Essas equações dizem que:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Primeiro, calculemos
e
:
Em seguida, calculemos
e
:
Passo 4
Agora, aplicamos as Equações de Cauchy-Riemann:
- Igualando
com :
- Igualando
com :
Resposta
As constantes que tornam
analítica são
e
.