Faça o mapeamento do conjunto de pontos representado pela região definida por
. e
quando submetido a
.
Assuma
Assuma
Passo 1
Vamos mapear os números complexos
que têm a parte real
e a parte imaginária
usando a função
. Para isso, precisamos entender como a função exponencial age sobre os números complexos.
Passo 2
Primeiro, escrevemos
na forma
, onde
e
. Assim, as condições do problema são
e
.
Passo 3
A função exponencial de um número complexo
é dada por:
Aqui,
é o módulo de
e
é o argumento (ângulo) de
.
Passo 4
Como
, o módulo
varia de
até
. Isso significa que os valores de
estarão todos dentro de um círculo de raio 1 no plano complexo.
Passo 5
O argumento
está entre
e
, cobrindo todos os ângulos possíveis em torno do círculo complexo, sem repetir o ângulo
.
Passo 6
Portanto, ao aplicar
na região definida por
e
, obtemos todos os números complexos dentro do círculo unitário no plano complexo.
Resposta
O conjunto de pontos é mapeado para o disco unitário no plano complexo, ou seja, todos os números complexos
com
.