Faça o mapeamento do conjunto de pontos representado pela região definida por Re(z) <= 0. e -pi < Im(z) <= pi quando submetido a f(z).
Assuma f(z) = e^z

Passo 1

Vamos mapear os números complexos que têm a parte real e a parte imaginária usando a função . Para isso, precisamos entender como a função exponencial age sobre os números complexos.

Passo 2

Primeiro, escrevemos na forma , onde e . Assim, as condições do problema são e .

Passo 3

A função exponencial de um número complexo é dada por:
Aqui, é o módulo de e é o argumento (ângulo) de .

Passo 4

Como , o módulo varia de até . Isso significa que os valores de estarão todos dentro de um círculo de raio 1 no plano complexo.

Passo 5

O argumento está entre e , cobrindo todos os ângulos possíveis em torno do círculo complexo, sem repetir o ângulo .

Passo 6

Portanto, ao aplicar na região definida por e , obtemos todos os números complexos dentro do círculo unitário no plano complexo.

Resposta

O conjunto de pontos é mapeado para o disco unitário no plano complexo, ou seja, todos os números complexos com .

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