Para as séries de potências abaixo, determine os domínios de convergência correspondentes: sumn=1^infty (x-2)^nn cdot(n+1)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o domínio de convergência da série de potências . Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a descobrir para quais valores de a série converge.

Passo 2

Primeiro, aplicamos o Teste da Razão. Esse teste diz que, para uma série , calculamos o limite . Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste não conclui nada.

Passo 3

Aqui, an+1an = (x-2)^n+1(n+1) cdot (n+2) cdot n cdot (n+1)(x-2)^n = (x-2) cdot nn+2 . Vamos calcular :

Passo 4

Agora, calculamos o limite L = limn to infty | (x-2) cdot nn+2 | = |x-2| cdot limn to infty nn+2 = |x-2| cdot 1 = |x-2| :

Passo 5

Para que a série convirja, precisamos que |x-2| < 1 :
1 < x < 3
Isso significa que está no intervalo:

Passo 6

Precisamos verificar os extremos sumn=1^infty (1-2)^nn cdot (n+1) = sumn=1^infty (-1)^nn cdot (n+1) e sumn=1^infty (3-2)^nn cdot (n+1) = sumn=1^infty 1n cdot (n+1) .
Quando :
A série alternada converge pela Teste da Alternância de Sinais.
Quando :
A série é uma série telescópica que converge.

Resposta

O domínio de convergência é .

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