Determine constantes a, b e L de modo que a função seja contínua em R
f(x)= x^3+a x+3x-1, & se x<1 L, & se x=1 b x+4, & se x>1

Passo 1

A função é dada de forma parcelada em três trechos: f(x)=x^3+ax+3x-1 para x<1, f(1)=L e f(x)=bx+4 para x>1. O assunto é continuidade em x=1: precisamos que limxto1^-f(x)=f(1)=limxto1^+f(x).

Passo 2

Para calcular limxto1^-x^3+ax+3x-1, primeiro exigimos que o numerador zere em x=1, ou seja
1^3+acdot1+3=0implies a=-4
Substituindo, o numerador vira
x^3-4x+3=(x-1)(x^2+x-3),
e assim
limxto1^-f(x)=limxto1(x-1)(x^2+x-3)x-1=limxto1(x^2+x-3)=1^2+1-3=-1
Logo L=-1.

Passo 3

Para x>1, limxto1^+f(x)=limxto1(bx+4)=b+4. Igualando à continuidade em x=1
b+4=L=-1implies b=-5

Resposta

a=-4,;b=-5,;L=-1

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